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小升初数学学问点汇总第一章 数和数的运算 一 概念 一整数 1.整数的意义:自然数和0都是整数。 2自然数:我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3叫做自然数。 一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。 3计数单位:一个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位:计数单位依据肯定的依次排列起来,它们所占的位置叫做数位。 5数的整除:1整除、倍数、因数:整数a除以整数b(b 0,除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a 。 假如数a能被数bb 0整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数或a的因数。倍数和因数是互相依存的。 例如因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的因数。 一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。例如:10的因数有1、2、5、10,其中最小的因数是1,最大的因数是10。 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3的倍数有:3、6、9、12其中最小的倍数是3 ,没有最大的倍数。 2整除的性质:个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:202、480、304,都能被2整除。 个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:5、30、405都能被5整除。 一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:12、108、204都能被3整除。 一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。 能被3整除的数不肯定能被9整除,但是能被9整除的数肯定能被3整除。 一个数的末两位数能被4或25整除,这个数就能被4或25整除。例如:16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8或125整除,这个数就能被8或125整除。例如:1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。 3奇偶性:能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 4质数及合数:一个数,假如只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数或素数,100以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数,假如除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数,例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。假如把自然数按其因数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。 5分解质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=35,3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。例如把28分解质因数28=2276公因数及公倍数:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数,例如12的因数有1、2、3、4、6、12;18的因数有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和1 8的公因数,6是它们的最大公因数。 公因数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有以下几种状况: 1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。 两个合数的公因数只有1时,这两个合数互质,假如几个数中随意两个都互质,就说这几个数两两互质。 假如较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。 假如两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3的倍数有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。 假如较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。假如两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。 二小数 1 小数的意义 把整数1平均分成10份、100份、1000份 得到的非常之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。 一位小数表示非常之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。 在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“非常之一和整数部分的最低单位“一之间的进率也是10。 2小数的分类 纯小数:整数部分是零的小数,叫做纯小数。例如: 0.25 、 0.368 都是纯小数。 带小数:整数部分不是零的小数,叫做带小数。 例如: 3.25 、 5.26 都是带小数。 有限小数:小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。 例如:41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 无限小数:小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。 例如: 4.33 3.1415926 无限不循环小数:一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。 例如: 循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。 例如: 3.555 0.0333 12.109109 一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如: 3.99 的循环节是“ 9 , 0.5454 的循环节是“ 54 。 纯循环小数:循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。 例如: 3.111 0.5656 混循环小数:循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。 3.1222 0.03333 写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。假如循环 节只有 一个数字,就只在它的上面点一个点。例如: 3.777 简写作 0.5302302 简写作 。 三分数 1 分数的意义 把单位“1平均分成假设干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。 把单位“1平均分成假设干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。 2 分数的分类 真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数:假分数可以写成整数及真分数合成的数,通常叫做带分数。 3 约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。 分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。四百分数 1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。 一数的读法和写法 1. 整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时,先依据个级的读法去读,再在后面加一个“亿或“万字。每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。 2. 整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。 3. 小数的读法:读小数的时候,整数部分依据整数的读法读,小数点读作“点,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4. 小数的写法:写小数的时候,整数部分依据整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5. 分数的读法:读分数时,先读分母再读“分之然后读分子,分子和分母依据整数的读法来读。 6. 分数的写法:先写分数线,再写分母,最终写分子,依据整数的写法来写。 7. 百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时依据整数的读法来读。 8. 百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%来表示。 二数的改写 一个较大的多位数,为了读写便利,经常把它改写成用“万或“亿作单位的数。有时还可以依据须要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。 1. 精确数:在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的精确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 2. 近似数:依据实际须要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。 例如: 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法:要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小,就把尾数去掉;假如尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。例如:省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 4. 大小比较 1比较整数大小:比较整数的大小,位数多的那个数就大,假如位数一样,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数一样,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。 2比较小数的大小:先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分一样的,非常位上的数大的那个数就大;非常位上的数也一样的,百分位上的数大的那个数就大 3比较分数的大小:分母一样的分数,分子大的分数比较大;分子一样的数,分母小的分数大。分数的分母和分子都不一样的,先通分,再比较两个数的大小。 三数的互化 1. 小数化成分数:原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。 2. 分数化成小数:用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保存三位小数。 3. 一个最简分数,假如分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;假如分母中含有2和5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数:只要把小数点向右挪动两位,同时在后面添上百分号。 5. 百分数化成小数:把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左挪动两位。 6. 分数化成百分数:通常先把分数化成小数除不尽时,通常保存三位小数),再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数:先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。 四数的整除 1. 把一个合数分解质因数,通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除,始终除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。 2. 求几个数的最大公因数的方法是:先用这几个数的公因数连续去除,始终除到所得的商只有公因数1为止,然后把全部的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公因数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数或其中的
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