杨浦区2020-2021学年度第二学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷 2021.4 考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上2本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 已知复数满足（为虚数单位），则_2已知函数的反函数为 ，则 _ 3在行列式中，元素的代数余子式的值为_4在的二项展开式中，项的系数是_5已知满足:，则的最大值为_.6方程的解为_ 7已知一组数据的中位数为4，则其总体方差为_ 8已知函数为奇函数，若，则_9直线：（ ）被圆：所截得的弦长为，则_10非空集合中所有元素乘积记为. 已知集合 ，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）11. 函数，若有且仅有一个实数满足： ；是函数图像的对称轴，则的取值范围是 12如图，在棱长为2的正方体中，点是平面上一动点，且满足，则满足条件的所有点所围成的平面区域的面积是_二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13若，是虚数单位,则 “”是“为纯虚数 ”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件14已知数列是无穷等比数列，若，则数列的前项和 （ ）A无最大值，有最小值B有最大值，有最小值C有最大值，无最小值 D无最大值，无最小值15在四边形中，且满足 ，则 （ ）A2 B C D 16已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确是 （ ）函数可能是奇函数；函数可能是周期函数；存在，使得；对任意，都有.A B C D三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，棱柱中，底面， 是棱的中点 .（1）求证：直线与直线为异面直线；（2）求直线与平面所成角的大小.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知，（为实常数）（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数在中有零点，求的取值范围.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里， 是圆形区域外一景点，. （1）、相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）20 （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是曲线上一动点.（1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率；（2）是轴上一定点. 若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围； （3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4 ，求线段的长.21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知无穷数列与无穷数列满足下列条件： ； .记数列的前项积为 .（1）若，求；（2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；（3）若，求的最大值.评分参考一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13 B 14 C 15 D 16 B三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）证明：假设直线与直线共面 （2分）点 平面而过直线和直线外一点有且只有一个平面 （2分）平面，矛盾！ （1分）假设不成立 故直线与直线为异面直线 （1分）（2） 如图，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 （1分）则， （2分）设平面的一个法向量 则 ，取 （2分）， （1分）设直线与平面所成角所成角为 则 （1分）所以 （1分）18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）当时， （2分）化简得： （2分）解集为 （2分）（2）依题意，有解 （2分） （2分） 的取值范围是 （2分） 的取值范围是 （2分）19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1） （2分） （1分） （2分） （公里） （1分）答：、相距约15.28公里（2）中， （2分）中， （1分）即 （1分） （1分）（公里） （1分）所需时间为小时 （1分）答：从行驶到约需要1.25 小时 （1分）21 （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.【解】 （1）， （2分） （1分） （1分）（2） 由得 （2分）设，则 ，（2分）由题意最大，所以对称轴， （2分）（3）是的圆心 。设（i）若都位于上，则，(舍) （2分）（ii）若都位于上，则 将式代入式，得： 或 代入得：或 （舍） （2分）（iii）若分别位于与上，则，得 （1分）， 综上： （1分）21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.（1）， （3分） （1分）（2）不存在，假设存在，设公差为 （2分）若，则，公差，矛盾；（2分）若，则，公差，矛盾. （2分）假设不成立，故不存在.（3）由题意， 且 设， 得，进一步得显然的值从大到小依次为 （2分）（）若，则，则不可能 （1分）（）若，则或，则或不可能 （1分）（）若，则，则不可能 （1分）（当或取得）从而，. （1分） （当：取得） （1分）又 ， （1分）- 6 - -