中国高考数学母题一千题(第0001号)从不等式sinxxtanx到函数f(x)=一类三角函数试题的母题 当0x时,sinxx0时,f(x)的极大值点x0满足:x0(2k,2k+)(kN+),且tanx0=x0,f(x)的极大值=cosx0;f(x) 的极小值点x0满足:x0(2k-1),(2k-1)+),且tanx0=x0,f(x)的极小值=cosx0;f(x)的图像在y=与y=-之间;()当x(0,)时,f(x)单调递减,值域为(,1);(Jordan不等式)xsinx2x;f(x)(其中,-1a2,b-).母题解析:()由f(x)=(x0)(x)=;令(x0)=0tanx0=x0f(x0)=cosx0;由y=tanx与y=x的图像知,当x0(2k,2k+)时,f(x0)是f(x)的极大值;当x0(2k-1),(2k-1)+)时,f(x0)是f(x)的极小值;由|f(x)|=|f(x)的图像在y=与y=-之间;()当x(0,)时,f(x)单调递减f(x)的值域为(,1)1xsinx0g(x)g(0)=02x;设h(x)=sinx+bsinxcosx-(b+1)x(x)=2bcosx+(2b+1)(cosx-1)0g(x)g(0)=0f(x). 1.关注于f(x)产生的不等式 子题类型:(2013年辽宁高考试题)()证明:当x0,1时,xsinxx;()若不等式ax+x2+2(x+2)cosx4对x0,1恒成立,求实数a的取值范围.解析:()当x=0时,xsinxx成立;当x(0,1时,由f(x)单调递减f()f(1)f(x)1xsinx-2时,不等式ax+x2+2(x+2)cosx4对x0,1不恒成立;因为当x0,1时,ax+x2+2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2(a+2)x+x2+-4(x+2)()2=(a+2)x-x2-(a+2)x-x2=-xx-(a+2)存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足ax0+x02+2(x0+2)cosx0-40即当a-2时,不等式ax+x2+2(x+2)cosx4对x0,1不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-,-2.点评:由f(x)的图像以及不等式:f(x)(其中,-1a2,b-)可产生许多不等式,这些不等式将是高考命题的出发点. 2.着意于f(x)的值域 子题类型:(2014年北京高考试题)已知函数f(x)=xcosx-sinx,x0,.()求证:f(x)0;()若ab在(0,)上恒成立,求a的最大值与b的最小值.解析:()由f(x)=xcosx-sinx(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinxf()=;由ainxxf(x)1f(x)的值域为(,1). 3.探究f(x)的极值点 子题类型:(2005年天津高考试题)设函数f(x)=xsinx(xR).()证明:f(x+2k)-f(x)=2ksinx,其中k为整数;()设x0为f(x)的一个极值点,证明:f(x0)2=;()设f(x)在(0,+)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1,a2,an,证明:an+1-an0,tanx0=-x0存在一个非负整数k,使k+x0k(x)=cosx(tanx+x)的符号如表:所以满足(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点a1,a2,an,为tanx=-x的全部正实数根且满足a1a2anan+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an);由(n-1)+annn+an+1(n+1)an+1-an0tan(an+1-an)0an+1-an.点评:函数f(x)=的极值点x0tanx0=x0;函数f(x)=xsinx的极值点x0tanx0=-x0;探究方程tanx0=x0根的性质是高考的一个命题方向. 4.子题系列:1.(第15届俄罗斯数学奥林匹克)设0x,求证:.2.(1992年第三届希望杯全国数学邀请赛高二试题)设0xx-;()sinxx-.3.(2014年江苏高考试题)已知函数f0(x)=(x0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,nN*.()求2f1()+f2()的值;()证明:对任意的nN*,等式|nfn-1()+fn()|=成立.4.(2012年福建高考试题)已知函数f(x)=axsinx-(aR),且在0,上的最大值为.()求函数f(x)的解析式;()判断函数f(x)在(0,)内的零点个数.并加以证明. 5.子题详解:1.解:由2x;=tan=2x.2.解:()由sinx=2sincos=2tancos2=2tan(1-ain2)21-()2=x-;()由sinx=sin3=3sin-4sin3=3(3sin-4sin3)-4sin3=32sin-4(sin3+3sin3)=32(3sin-4sin3)-4(sin3+3sin3)=33sin-4(sin3+3sin3+32sin3)=3nsin-4(sin3+3sin3+32sin3+3n-1sin3);由sinxx-及sinx-,sin33n(-)-4(+3+32+3n-1)=x-(1+)=x-x-.3.解:令由f0(x)=f1(x)=0(x)=-f2(x)=1(x)=-+2f1()+f2()=-1;()由f0(x)=xf0(x)=sinx,等式两边分别对x求导得:f0(x)+x0(x)=cosxf0(x)+xf1(x)=cos(x+)2f1(x)+xf2(x)=sin(x+2);下面用数学归纳法证明等式:nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+);当n=1时,由上可知等式成立;假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin(x+),等式两边分别对x求导得:(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=cos(x+)=sinx+当n=k+1时,等式也成立.综合可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+)对所有的nN*都成立;令x=得:nfn-1()+xfn()=sin(+)|nfn-1()+fn()|=.4.解:()由f(x)=axsinx-(x)=a(sinx+xcosx),当x(0,)时,sinx+xcosx0;当a=0时,f(x)=-,不合题意;当a0时,(x)0时,(x)0fmax(x)=f()=-=a=1f(x)=xsinx-;()由(x)=sinx+xcosx=0tanx=-x有唯一根x0(,),且当x(0,)时,(x)0;当x(,x0)时,(x)=cosx(tanx+x)0;当x(x0,)时,(x)=cosx(tanx+x)0f(x)在(0,x0)上递增,在(x0,)上递减;由f(0)=-f()=0;f()=-0f(x)在(0,)内的零点个数=2.