浙江省杭州市富阳区新登中学2018-2019学年高二数学上学期期末模拟试题一选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=By=xCy=xDy=x2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）ABCD3已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：若ab，ac则bc；若ab，ac则bc；若ab，bc则ac其中正确的个数为（）A0个B1个C2个D3个4设点P为椭圆上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且F1PF2=60，则PF1F2的面积为（）ABCD5.对于曲线：上的任意一点P，如果存在非负实数M和m，使不等式恒成立为坐标原点，M的最小值为，m的最大值为，则的值是A. 3 B. 4 C. 5 D. 136已知直线 l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1l2”是“a=1”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7已知点F为抛物线y 2=8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）ABC6D4+28已知圆O为RtABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）A8，1B8，0C16，1D16，09已知三棱锥DABC，记二面角CABD的平面角为，直线DA与平面ABC所成的角为，直线DA与BC所成的角为，则（）A B C D10如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是（）A、直线 B、抛物线 C、椭圆 D、双曲线的一支二填空题（共6小题,双空每空3分，单空每空4分，共30分）11.直线的斜率为 ；倾斜角大小为_12.已知圆：, 则圆在点处的切线的方程是_；过点（2，2）的切线方程是 .13某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为 cm3，该几何体的表面积为 cm214已知m，n，s，tR+，m+n=2，其中m、n是常数，当s+t取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为 15在平面直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x2=2py（p0）交于M，N两点若|MF|+|NF|=4|OF|，则该双曲线的离心率为 16在三棱锥TABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，下列命题：D一定是ABC的垂心；D一定是ABC的外心；ABC是锐角三角形 其中正确的是 （写出所有正确的命题的序号）三、解答题（共4题，50分）17（满分12分）已知抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（1，0），过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=2相交于M，N两点（）求抛物线C的方程；（）证明ABO与MNO的面积之比为定值18.（满分12分）如图所示，四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，ABC=90SA=2,，BC=1，ACD=60，E为CD的中点（1）求证：BC平面SAE；（2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值19（满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，ADBC，ABAD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=（1）证明：平面CEF平面PAD；（2）设=k（0k1），且二面角PCEF的大小为30，求实数k的值20（满分14分）对于曲线C上一点T，若在曲线C上存在异于T的两点，满足|TM|=|TN|，且TMTN，则称点T为曲线C的“T点”，TMN是点T的一个“特征三角形”已知椭圆的一个顶点为B（0，1），A1，A2分别为椭圆G的左、右顶点（ I）证明：BA1A2不是点B的“特征三角形”；（ II）当a=2时，已知点A2是椭圆G的“T点”，且A2MN是点A2的“特征三角形”，求出点M，N的一组坐标；（ III）试判断点B是否为椭圆G的“T点”，若是，求出其“特征三角形”的个数；若不是，请说明理由高二数学期末复习卷答案一选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案CBBACBADAC二填空题（共6小题,双空每空3分，单空每空4分，共30分）11.； 12.；x=2或y=213 , 14x2y+1=015 16 三、解答题（共4题，50分）17（满分12分）已知抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（1，0），过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=2相交于M，N两点（）求抛物线C的方程；（）证明ABO与MNO的面积之比为定值【解答】解：（）由焦点坐标为（1，0）可知，p=2抛物线C的方程为y2=4x（）当直线l垂直于x轴时，ABO与MNO相似，当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x1），设M（2，yM），N（2，yN），A（x1，y1），B（x2，y2），由 整理得 k2x2（4+2k2）x+k2=0，AOB=MON，x1x2=1综上 18.（满分12分）如图所示，四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，ABC=90，BC=1，ACD=60，E为CD的中点（1）求证：BC平面SAE；（2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值【解答】证明：（1）因为，BC=1，ABC=90，所以AC=2，BCA=60，在ACD中，AC=2，ACD=60，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD22ACCDcosACD解得：CD=4所以AC2+AD2=CD2，所以ACD是直角三角形，又E为CD的中点，所以又ACD=60，所以ACE为等边三角形，所以CAE=60=BCA，所以BCAE，又AE平面SAE，BC平面SAE，所以BC平面SAE（2）由（1）可知BAE=90，以点A为原点，以AB，AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则S（0，0，2），所以，设为平面SBC的法向量，则，即设x=1，则y=0，即平面SBC的一个法向量为，所以所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为19（满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，ADBC，ABAD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=（1）证明：平面CEF平面PAD；（2）设=k（0k1），且二面角PCEF的大小为30，求实数k的值【解答】（1）证明：由PA=PD=2，点E是AD的中点，PAAD，ABCE是矩形，ECAD，平面PAD平面ABCD=AD，PE平面PAD，ECPA平面ABCDEC平面ABCDPAECBC=AD=1，ADBC，ABAD，ECAD，AD平面PAD，平面CEF平面PAD（2）由（1）可得PAAD，ECAD，PAEC，以E为坐标原点，向量，的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系AxyzE（0，0，0），P（0，0，），C（0，0），B（1，0），设F（x，y，z），则=（x，y，z），=（1，），可得：x=k，y=，z=，即F（k，），设平面CEF的法向量为（p，q，r），=（k，），=（k，），即，令r=，则q=0，p=，即（，0，），PCE的法向量为=（1，0，0），二面角PCEF的大小为30，即cos30=|=|=，解得：k=，故得实数k的值为20（满分14分）对于曲线C上一点T，若在曲线C上存在异于T的两点，满足|TM|=|TN|，且TMTN，则称点T为曲线C的“T点”，TMN是点T的一个“特征三角形”已知椭圆的一个顶点为B（0，1），A1，A2分别为椭圆G的左、右顶点（ I）证明：BA1A2不是点B的“特征三角形”；（ II）当a=2时，已知点A2是椭圆G的“T点”，且A2MN是点A2的“特征三角形”，求出点M，N的一组坐标；（ III）试判断点B是否为椭圆G的“T点”，若是，求出其“特征三角形”的个数；若不是，请说明理由【解答】（本小题满分14分）解：（ I） 证明：，因为a1，所以，即A1B与A2B不垂直所以BA1A2不是点B的“特征三角形”（4分）（ II）当a=2时，椭圆因为点A2是椭圆G的“T点”，且A2MN是点A2的一个“特征三角形”，不妨设M（m，n），N（m，n）（2m2）由题意得：解得或（舍）所以（或）（8分）（III）点B是椭圆G的“T点”不妨设点B的“特征三角形”为BPQ设直线BP的方程为y=kx+1（k0），则直线BQ的方程为，由得（1+a2k2）x2+2a2kx=0因为B（0，1），所以所以=同理可得因为|BP|=|BQ|，所以，即（k1）k2+（1a2）k+1=0（1）所以k=1或k2+（1a2）k+1=0（2）由（2）式可得=（1a2）24=（a2+1）（a23）当时，（2）式有两个相等的正根1，所以（1）式有三个相等的正根为k=1；当时，（2）式有两个不等于1 的正根，所以（1）式有三个不相等的正根；当时，（2）式无实根，所以（1）式只有一个正根为k=1综上：当时，满足条件的“特征三角形”有1个当时，满足条件的“特征三角形”有3个（14分）