习 题2-1 如果某一问题中，只存在平面应力分量，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力 问题？(是)2-2 如果某一问题中，只存在平面应变分量，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？(是)2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。(自由表面薄层中：近于平面应力问题)2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图2-12，当板边上只受x，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。(只有接近平面应变问题)2-5 在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？()3-1 试考察应力函数在图3-8所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。3-2 取满足相容方程的应力函数为：（1），（2），（3），试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。3-3 试考察应力函数能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。3-4 试证能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l，深度为h，体力不计）。3-5 设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q，图3-10，试求应力分量。4-1 试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。4-2 试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。4-3 在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明可以满足此基本方程。4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。lABP4-5 试由一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式4-3中的式(a)，(b)，(c)。5-1 长l悬臂梁，B端作用集中力P分别用1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程求B端挠度(设)6-6 试求图6-25所示结构的结点位移和应力，取。7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个应力的平均值。7-2 设某一物体发生如下的位移：试证明：各个形变分量在物体内为常量（即所谓均匀形变）；在变形以后，物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面保持平行，平行线保持平行，正平行六面体变成斜平行六面体，圆球面变成椭球面。8-5 半空间体在边界平面的一个圆面积上受有均布压力q。设圆面积的半径为a，试求圆心下方距边界为h处的位移。3-1 考察应力函数在图示矩形板和坐标系能解决什么问题。解满足双调和方程（相容方程）可作应力函数应力分量(2-24)：力边界条件(2-25)： 上下边界左边界右边界解决偏心拉伸问题 解决偏心压缩问题3.2 解：力边界：上边界 下边界 左边界 右边界 力边界：上边界 下边界 左边界 右边界 力边界：上边界 下边界 左边界 右边界 3-3、3-4解：1、将两种函数分别代入式中，得知能满足双调和方程，因此，可作为应力函数。2、由应力函数，可求得应力分量，考虑各边界条件后，可求得面力（或合力），从而得知各自能解决的问题，见表3-12所列。表3-12 两种应力函数所对应的应力、面力、合力应力函数 (1) (2)应力分量边界条件上边下边边界条件左端右端面力（合力）解决问题悬臂梁一端受集中力和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用，上边受均布载荷作用3-5 解1、半逆解法确定主要边界故可设即 即对y的任意值均成立则有： (略去了与应力无关的常数项) (略去了与应力无关的常数项及次项)故2、应力3、边界条件定常数： 则4-1解：物理方程完全相似，因为极坐标和直角坐标都是正交坐标等。平衡方程多了非微分项，这是由于 )微分体二径向边不平行，使对方向的平衡产生了影响。)二环向边不等长使在方向，在Q方向产生附加影响。几何方程多了非微分项这是由于 微分体二径向边平不平行，引起周向应变 引起剪应变4-2 仿照直角坐标系的旋转变换 介上式：4-3 轴对称位移问题，导出按位移求解的基本方程，并证明满足此方程解：按位移轴对称条件（应力也轴对称）：代入平衡方程 (a) 几何方程 (b)物理方程 (c)(c)代入(a)得 (d)(b)代入(d)得位移轴对称问题按位移求解基本方程： 或4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。由几何方程所得应变间的关系即相容方程：中第2式微分即相容方程5-1 长l悬臂梁，B端作用集中力P分别用1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程求B端挠度(设)解：1) 满足位移边界条件应变能外力势能总势能由得：解得 则挠曲线方程为2)满足位移边界条件， 应变能 位移变分方程 6-6 试求图示结构的结点位移和应力，取解：1、离散化如图，建立坐标系，划分单元，节点编号1，2，3，4单元节点编号 节点坐标eijk节点号xy1421012312103114002、单元刚度矩阵 单元 (或) 应变矩阵 弹性矩阵 应力矩阵 单元刚度矩阵K11K14K12K41K44K42K21K24K22 单元单刚与相同K22K23K21K32K33K31K11K13K12符号相反，符号也相反3、整体分析 整体刚度矩阵+ 整体刚度方程4、位移边界条件处理 5、方程求解，去除六个方程得：6、单元应力，设则， 平均应力7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个主应力的平均值。证：取坐标面与三个主平面重合，由题意 由式(7-3)，7-2 解：1)2)平面方程，按题意平面上任一点()位移到代入方程后仍是平面方程3)设直线方程：即二平面的交线变形后，按2)得二个新的平面的交线，仍为直线4)二个平行平面：法线的方向数ABC。点用代替整理后，二平面的法线的方向数仍相同，即平行。由此推论：正平行六面体变形后成为斜平行六面体(由于的存在单元体变斜)5)把二平行线定义为二平行平面的法线，变形后按4)二新的平行平面的法线仍平行6)园球面方程，点用代入可得形如的方程，即椭球面。8-5 解：按(8-6)微元集中力产生对积分后得 6