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文档供参考,可复制、编制,期待您的好评与关注! 2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥(lbylfxsina.com)(全卷满分160分,考试时间120分钟)参考公式:棱锥的体积,其中为底面积,为高一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1(2012年江苏省5分)已知集合,则 【答案】。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得。2(2012年江苏省5分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 名学生【答案】15。【考点】分层抽样。【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此,由知应从高二年级抽取15名学生。3(2012年江苏省5分)设,(i为虚数单位),则的值为 【答案】8。【考点】复数的运算和复数的概念。【分析】由得,所以, 。4(2012年江苏省5分)下图是一个算法流程图,则输出的k的值是 【答案】5。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:是否继续循环k循环前00第一圈是10第二圈是22第三圈是32第四圈是40第五圈是54第六圈否输出5 最终输出结果k=5。5(2012年江苏省5分)函数的定义域为 【答案】。【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得。6(2012年江苏省5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 【答案】。【考点】等比数列,概率。【解析】以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,3,9,-27,其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8, 从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是。7(2012年江苏省5分)如图,在长方体中,则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质,棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形,中 cm,边上的高是cm(它也是中上的高)。 四棱锥的体积为。由8(2012年江苏省5分)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。 ,即,解得。9(2012年江苏省5分)如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是 【答案】。【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。【解析】由,得,由矩形的性质,得。 ,。 记之间的夹角为,则。 又点E为BC的中点,。 。 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解。10(2012年江苏省5分)设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中若,则的值为 【答案】。【考点】周期函数的性质。【解析】是定义在上且周期为2的函数,即。 又, 。 联立,解得,。11(2012年江苏省5分)设为锐角,若,则的值为 【答案】。【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。【解析】为锐角,即,。 ,。 。 。12(2012年江苏省5分)在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是 【答案】。【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离【解析】圆C的方程可化为:,圆C的圆心为,半径为1。由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点;存在,使得成立,即。即为点到直线的距离,解得。的最大值是。13(2012年江苏省5分)已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为 【答案】9。【考点】函数的值域,不等式的解集。【解析】由值域为,当时有,即, 。 解得,。不等式的解集为,解得。14(2012年江苏省5分)已知正数满足:则的取值范围是 【答案】。【考点】可行域。【解析】条件可化为:。 设,则题目转化为:已知满足,求的取值范围。 作出()所在平面区域(如图)。求出的切线的斜率,设过切点的切线为, 则,要使它最小,须。 的最小值在处,为。此时,点在上之间。 当()对应点时, , 的最大值在处,为7。 的取值范围为,即的取值范围是。二、解答题:本大题共6小题,共计90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(2012年江苏省14分)在中,已知(1)求证:;(2)若求A的值【答案】解:(1),即。 由正弦定理,得,。 又,。即。 (2) ,。 ,即。 由 (1) ,得,解得。 ,。【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 (2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。16(2012年江苏省14分)如图,在直三棱柱中,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点求证:(1)平面平面; (2)直线平面【答案】证明:(1)是直三棱柱,平面。 又平面,。 又平面,平面。 又平面,平面平面。 (2),为的中点,。 又平面,且平面,。 又平面,平面。 由(1)知,平面,。 又平面平面,直线平面【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】(1)要证平面平面,只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。 (2)要证直线平面,只要证平面上的即可。17(2012年江苏省14分)如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由【答案】解:(1)在中,令,得。 由实际意义和题设条件知。 ,当且仅当时取等号。 炮的最大射程是10千米。 (2),炮弹可以击中目标等价于存在,使成立, 即关于的方程有正根。 由得。 此时,(不考虑另一根)。 当不超过6千米时,炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】(1)求炮的最大射程即求与轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。18(2012年江苏省16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。已知是实数,1和是函数的两个极值点(1)求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数【答案】解:(1)由,得。 1和是函数的两个极值点, ,解得。 (2) 由(1)得, , ,解得。 当时,;当时, 是的极值点。 当或时, 不是的极值点。 的极值点是2。(3)令,则。 先讨论关于 的方程 根的情况:当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,的两个不同的根为一和2。当时, ,一2 , 1,1 ,2 都不是的根。由(1)知。 当时, ,于是是单调增函数,从而。此时在无实根。 当时,于是是单调增函数。又,的图象不间断, 在(1 , 2 )内有唯一实根。同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。 当时,于是是单调减两数。又, ,的图象不间断,在(一1,1 )内有唯一实根。因此,当时,有两个不同的根满足;当 时有三个不同的根,满足。现考虑函数的零点:( i )当时,有两个根,满足。而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。( 11 )当时,有三个不同的根,满足。而有三个不同的根,故有9 个零点。综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。【考点】函数的概念和性质,导数的应用。【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 (2)由(1)得,求出,令,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点。19(2012年江苏省16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P(i)若,求直线的斜率;(ii)求证:是定值【答案】解:(1)由题设知,由点在椭圆上,得,。由点在椭圆上,得椭圆的方程为。(2)由(1)得,又, 设、的方程分别为,。 。 。 同理,。 (i)由得,。解得=2。
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