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第二讲 大题考法等差、等比数列的综合问题题型(一)等差、等比数列的综合运算 主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和的求解,且常结合数列的递推公式命题.典例感悟例1(2018镇江期末)已知nN*,数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且a11,a22,设bna2n1a2n.(1)若数列bn是公比为3的等比数列,求S2n;(2)若对任意nN*,Sn恒成立,求数列an的通项公式;(3)若S2n3(2n1),数列anan1为等比数列,求数列an的通项公式解(1)由题意,b1a1a2123,则S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)b1b2bn.(2)当n2时,由2Snan,得2Sn1an1,两式相减得2anan(an1)aa1,整理得(an1)2a0,即(anan11)(anan11)0,故anan11或anan11.(*)下面证明anan11对任意的nN*恒不成立事实上,因为a1a23,所以anan11不恒成立;若存在nN*,使anan11,设n0是满足上式最小的正整数,即an0an011,显然n02,且an01(0,1),则an01an021,则由(*)式知,an01an021,则an021)由题意,得即由q1,解得故数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)得bn2n1(n1)ln 2,所以Tn(12222n1)012(n1)ln 2ln 22n1ln 2.题型(二)等差、等比数列的判定与证明主要考查等差与等比数列的定义、等差与等比中项,且常与数列的递推公式结合命题.典例感悟例2(2018苏北四市期末)已知数列an的前n项和为Sn,满足a12,Snnanan1,其中n2,nN*,R.(1)若0,4,bnan12an(nN*),求证:数列bn是等比数列;(2)若数列an是等比数列,求,的值;(3)若a23,且,求证:数列an是等差数列解(1)证明:若0,4,则Sn4an1(n2),所以an1Sn1Sn4(anan1),即an12an2(an2an1),所以bn2bn1.又由a12,a1a24a1,得a23a16,a22a120,即bn0,所以2,故数列bn是等比数列(2)若an是等比数列,设其公比为q(q0)当n2时,S22a2a1,即a1a22a2a1,得1q2q.当n3时,S33a3a2,即a1a2a33a3a2,得1qq23q2q.当n4时,S44a4a3,即a1a2a3a44a4a3,得1qq2q34q3q2.q,得1q2,q,得1q3,解得q1,1.代入式,得0.此时Snnan(n2),Sn1(n1)an1(n3),相减得SnSn1nan(n1)an1,所以anan1(n3)因为a12,S22a2,所以ana2a12,所以数列an是公比为1的等比数列,故1,0.(3)证明:令n2,则S22a2a1,即a1a22a2a1.又a12,a23,得562.又,解得,1.所以Snanan1.令n3,则S3a3a2,即a1a2a3a3a2.由a12,a23,得5a3a33,所以a34,所以a1,a2,a3成等差数列由Snanan1,得Sn1an1an,两式相减得an1an1ananan1,即(n1)an1(n2)an2an10,所以nan2(n1)an12an0,两式相减得nan22(n1)an1(n2)an2an2an10,所以n(an22an1an)2(an12anan1)0,所以an22an1an(an12anan1)(an2an1an2)(a32a2a1)因为a12a2a30,所以an22an1an0,即数列an是等差数列方法技巧判定和证明数列是等差(比)数列的方法定义法对于n1的任意自然数,验证an1an或为与正整数n无关的某一常数中项公式法若2an1anan2(nN*),则an为等差数列;若aanan20(nN*),则an为等比数列演练冲关1(2018苏锡常镇调研(二)已知等差数列an的首项为1,公差为d,数列bn的前n项和为Sn,且对任意的nN*,6Sn9bnan2恒成立(1)如果数列Sn是等差数列,证明数列bn也是等差数列;(2)如果数列为等比数列,求d的值解:(1)证明:设数列Sn的公差为d,由6Sn9bnan2, 得6Sn19bn1an12(n2), ,得6(SnSn1)9(bnbn1)(anan1), 即6d9(bnbn1)d,所以bnbn1为常数,所以bn为等差数列(2)由得6bn9bn9bn1d,即3bn9bn1d,所以3是与n无关的常数,所以10或bn1为常数当10时,d3,符合题意;当bn1为常数时,在6Sn9bnan2中,令n1,则6a19b1a12,又a11,解得b11,所以bn1b1,此时331,解得d6.综上,d3或d6.2(2018苏锡常镇一模)已知n为正整数,数列an满足an0,4(n1)ana0,设数列bn满足bn.(1)求证:数列为等比数列;(2)若数列bn是等差数列,求实数t的值;(3)若数列bn是等差数列,前n项和为Sn,对任意的nN*,均存在mN*,使得8aSnan216bm成立,求满足条件的所有整数a1的值解:(1)证明:由题意得4(n1)ana,因为数列an各项均为正,得4,所以2, 因此2,所以是以a1为首项,公比为2的等比数列(2)由(1)得a12n1,即ana12n1,所以bn,如果数列bn是等差数列,则2b2b1b3,即2,整理得,则t216t480,解得t4或t12.当t4时,bn,因为bn1bn,所以数列bn是等差数列,符合题意; 当t12时,bn,因为b2b4a,2b32,b2b42b3,所以数列bn不是等差数列,t12不符合题意,综上,如果数列bn是等差数列,则t4.(3)由(2)得bn,对任意的nN*,均存在mN*,使8aSnan216bm,则8an216,所以m. 当a12k,kN*时,mk2n,对任意的nN*,mN*,符合题意;当a12k1,kN*,当n1时,mk2kN*,故不合题意. 综上,当a12k,kN*时,对任意的nN*,均存在mN*,使8aSnan216bm.课时达标训练A组大题保分练1(2018苏州期中)已知等比数列an的公比q1,满足:a2a3a428,且a32是a2,a4的等差中项(1)求数列an的通项公式;(2)若bnanlogan,Snb1b2bn,求使Snn2n162成立的正整数n的最小值解:(1)a32是a2,a4的等差中项,2(a32)a2a4,代入a2a3a428,可得a38,a2a420,解得或q1,数列an的通项公式为an2n.(2)bnanlogan2nlog2nn2n,Sn(12222n2n),2Sn(122223(n1)2nn2n1),得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1.Snn2n162,2n1262,n16,n5,使Snn2n162成立的正整数n的最小值为6.2已知数列an,bn均为各项都不相等的数列,Sn为an的前n项和,an1bnSn1(nN*)(1)若a11,bn,求a4的值;(2)若an是公比为q的等比数列,求证:存在实数,使得bn为等比数列解:(1)由a11,bn,知a24,a36,a48.(2)证明:因为an1bnSn1,所以当n2时,anbn1Sn11,得,an1bnanbn1an,由得,bn
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