经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF（初二）AFGCEBODAPCDB第1题图第2题图2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150 求证：PBC是正三角形（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDMB第3题图第4题图4、已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF经典难题（二）1、已知：ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OMBC于M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC600，求证：AHAO（初二）ADHEMCBOGAODBECQPNM第1题图第2题图2、设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：APAQ（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q求证：APAQ（初二）OQPBDECNMAPCGFBQADE第3题图第4题图4、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点求证：点P到边AB的距离等于AB的一半（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F求证：CECF（初二）AFDECBEDACBF第1题图第2题图2、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F求证：AEAF（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证：PAPF（初二）DFEPCBAODBFAECP第3题图第4题图4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：ABDC，BCAD（初三）经典难题（四）1、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB的度数（初二）APCBPADCB第1题图第2题图2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）CBDAFPDECBA第3题图第4题图4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AECF求证：DPADPC（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正ABC内任一点，LPAPBPC，求证：L2APCBACBPD第1题图第2题图2、P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值EDCBA3、P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长ACBPD第3题图第4题图4、如图，ABC中，ABCACB800，D、E分别是AB、AC上的点，DCA300，EBA200，求BED的度数经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF。（初二）证一：连接OE。EGCO ，EFAB，O、G、E、F四点共圆，且OE为直径。GF=OEsinGOF。又OCD中，CD=OCsinCOD。GOF+COD=180， OC= OE为O半径，CDGF。证二：连接OE，过G作GHAB于H。EGCO ，EFAB，O、G、E、F四点共圆，且OE为直径。GEO=HFG。又EGO=FHG=Rt，GEOHFG。GF:OE=GH:OG。又GHCD，GH:CD=OG:OC，即GH:OG=CD:OC，GF:OE=CD:OC，而OE=OC，CDGF。AFGCEBODHHAFGCEBOD2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150求证：PBC是正三角形（初二）APCDBE证明：3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA14、已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENFANFECDMB经典难题（二）1、已知：ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OMBC于M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC600，求证：AHAO（初二）ADHEMCBO2、设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：APAQ（初二）GAODBECQPNM3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q求证：APAQ（初二）OQPBDECNMA4、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点求证：点P到边AB的距离等于AB的一半（初二）PCGFBQADE经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F求证：CECF（初二）AFDECB2、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F求证：AEAF（初二）EDACBF3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCED求证：PAPF（初二）FEPCBA4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：ABDC，BCAD（初三）ODBFAECP经典难题（四）1、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB的度数（初二）APCB2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB（初二）PADCB3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）CBDA4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AECF求证：DPADPC（初二）FPDECBA经典难题（五）1、设P是边长为1的正ABC内任一点，LPAPBPC，求证：L2APCB2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值ACBPD3、P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长ACBPD4、如图，ABC中，ABCACB800，D、E分别是AB、AC上的点，DCA300，EBA200，求BED的度数EDCBA经典难题（一）1.如下图做GHAB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又CO=EO，所以CD=GF得证。2. 如下图做DGC使与ADP全等，可得PDG为等边，从而可得DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300 ，从而得出PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1= FB2 ，EB2=AB=BC=FC1 ，又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ，可得B2FC2A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 ,从而可得A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN和QMN=QNM，从而得出DENF。经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF，做OGAF,又F=ACB=BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB，OC,既得BOC=1200， 从而可得BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。3.作OFCD，OGBE，连接OP，OA，OF