专题1.12 动力学中的临界极值问题【专题诠释】1临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点(4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度2几种临界状态和其对应的临界条件临界状态临界条件速度达到最大物体所受的合外力为零两物体刚好分离两物体间的弹力FN0绳刚好被拉直绳中张力为零绳刚好被拉断绳中张力等于绳能承受的最大拉力【高考领航】【2019江苏高考】如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：(1)A被敲击后获得的初速度大小vA；(2)在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小aB、aB；(3)B被敲击后获得的初速度大小vB。【答案】(1)(2)3gg(3)2【解析】A、B的运动过程如图所示：(1)A被敲击后，B静止，A向右运动，由牛顿第二定律知，A的加速度大小aAgA在B上滑动时有2aALv解得：vA。(2)设A、B的质量均为m对齐前，A相对B滑动，B所受合外力大小Fmg2mg3mg由牛顿第二定律得FmaB，得aB3g对齐后，A、B相对静止，整体所受合外力大小F2mg由牛顿第二定律得F2maB，得aBg。(3)设B被敲击后，经过时间t，A、B达到共同速度v，位移分别为xA、xB，A的加速度大小等于aA则vaAt，vvBaBtxAaAt2，xBvBtaBt2且xBxAL解得：vB2。【2012重庆理综】某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为x.比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点整个过程中球一直保持在球拍中心不动比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为0，如图所示设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g.(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；(2)求在加速跑阶段球拍倾角随速度v变化的关系式；(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比0大了并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求应满足的条件【答案】见解析【解析】 (1)在匀速运动阶段，有mgtan 0kv0得k.(2)加速阶段，设球拍对球的支持力为FN，有FNsin kvmaFNcos mg得tan tan 0.(3)以速度v0匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有F球拍倾角为0时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a，有Fsin ma设匀速跑阶段所用时间为t，有t球不从球拍上掉落的条件at2r得sin .【方法技巧】处理临界问题的三种方法极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的假设法临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件、也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题数学法将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件【最新考向解码】【例1】(2019安徽宣城高三上学期期末)质量为m1 kg、大小不计的物块，在水平桌面上向右运动，经过O点时速度为v4 m/s，此时对物块施加F6 N的方向向左的拉力，一段时间后撤去拉力，物块刚好能回到O点。已知与桌面间动摩擦因数为0.2，重力加速度g10 m/s2。求：(1)此过程中物块到O点的最远距离；(2)撤去F时物块到O点的距离。【答案】(1)1 m(2) m【解析】(1)物块向右做匀减速运动时，设物块向左的加速度大小为a1，物块与O点的最远距离为x1，则有Fmgma1解得a18 m/s2；由v22a1x1，可得x11 m。(2)物块向左运动过程中，有力F作用时做匀加速运动，设加速度大小为a2，最大速度大小为v1，加速位移大小为x2，撤去拉力F后做匀减速运动，设加速度大小为a3，减速位移大小为x3，则有Fmgma2，解得a24 m/s2mgma3，解得a32 m/s2由v2a2x2v2a3x3x2x3x1联立解得x3 m，即撤去F时物块到O点的距离为 m。【例2】(2019湖北黄冈中学模拟)如图所示，水平地面上有一车厢，车厢内固定的平台通过相同的弹簧把相同的物块A、B压在竖直侧壁和水平的顶板上，已知A、B与接触面间的动摩擦因数均为，车厢静止时，两弹簧长度相同，A恰好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现使车厢沿水平方向加速运动，为保证A、B仍相对车厢静止，则()A速度可能向左，加速度可大于(1)g B加速度一定向右，不能超过(1)gC加速度一定向左，不能超过g D加速度一定向左，不能超过(1)g【答案】：B【解析】：开始A恰好不下滑，对A分析有fAmgFNAF弹，解得F弹，此时弹簧处于压缩状态当车厢做加速运动时，为了保证A不下滑，侧壁对A的支持力必须大于等于，根据牛顿第二定律可知加速度方向一定向右对B分析，有fBmFNB(F弹mg)ma，解得a(1)g，故选项B正确，A、C、D错误【例3】(2019辽宁葫芦岛六校联考)如图所示，木板与水平地面间的夹角可以随意改变，当30时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板向上运动，随着的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g.(1)求小木块与木板间的动摩擦因数；(2)当角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值【答案】(1)(2)60【解析】(1)当30时，木块处于平衡状态，对木块受力分析：mgsin FNFNmgcos 0解得tan tan 30.(2)当变化时，设沿斜面向上为正方向，木块的加速度为a，则mgsin mgcos ma由0v2ax得x其中tan ，则当90时x最小，即60所以x最小值为xmin【微专题精练】1.如图所示，质量m2 kg的小球用细绳拴在倾角37的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面g取10 m/s2.下列说法正确的是()A当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为20 NB当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为30 NC当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为40 ND当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为60 N【答案】A【解析】小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零斜面对小球的弹力恰好为零时，设绳子的拉力为F，斜面的加速度为a0.以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有Fcos ma0，Fsin mg0，代入数据解得a013.3 m/s2.(1)由于a15 m/s2a0，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示设绳子与水平方向的夹角为.以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F2cos ma2，F2sin mg0代入数据解得F220 N，选项C、D错误2.(2019河北衡水中学二调)如图所示，在光滑水平面上有一辆小车A，其质量为mA2.0 kg，小车上放一个物体B，其质量为mB1.0 kg.如图甲所示，给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0 N时，A、B开始相对滑动如果撤去F，对A施加一水平推力F，如图乙所示要使A、B不相对滑动，则F的最大值Fmax为()A2.0 NB3.0 NC6.0 ND9.0 N【答案】C【解析】：.根据题图甲所示，设A，B间的静摩擦力达到最大值Ffmax时，系统的加速度为a.根据牛顿第二定律，对A、B整体有F(mAmB)a，对A有FfmaxmAa，代入数据解得Ffmax2.0 N.根据题图乙所示情况，设A、B刚开始滑动时系统的加速度为a，根据牛顿第二定律得：以B为研究对象有FfmaxmBa以A、B整体为研究对象，有Fmax(mAmB)a代入数据解得Fmax6.0 N故C正确3.如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离h时，B与A分离下列说法正确的是()AB和A刚分离时，弹簧长度等于原长 BB和A刚分离时，它们的加速度为gC弹簧的劲度系数等于 D在B与A分离之前，它们做匀加速直线运动【答案】C【解析】A、B分离前，A、B共同做加速运动，由于F是恒力，而弹力是变力，故A、B做变加速直线运动，当两物体要分离时，FAB0，对B：Fmgma，对A：kxmgma.即Fkx时，A、B分离，此时弹簧处于压缩状态，由Fmg，设用恒力F拉B前弹簧压缩量为x0，又2mgkx0，hx0x，解以上各式得k，综上所述，只有C项正确4.如图所示，悬挂于O点的轻质弹簧，劲度系数k100 N/m，其下端拴一质量m1 kg的小物体A，紧挨物体A有一质量M2 kg的物体B，现对B施加一个竖直向上、大小为38 N的力F，系统处于静止状态，现突然改变力F的大小，使物体A、B以加速度a2 m/s2匀加速下降，直到A、B两物体分离，取g10 m/s2，则()A两物体刚开始匀加速下降时，力F大小为8 NB两物体分离时，弹簧刚好恢复原长C改变力F的大小后经0.4 s A、B两物体分离D从改变力F到两物体分离的过程中，系统克服力F做的功为3.84 J【答案】CD【解析】系统静止时，弹簧处于压缩状态，令压缩量为x1，则F0(mM)gkx1，代入数据得x10.08 m，A、B两物体刚开始匀加速下降时有kx1(mM)gF(mM)a，代入数据得F32 N，A错；设经时间t两物体分离，A、B间的弹力为0，弹