精选文档高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,，或者采用紧凑形式。假设。假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的k值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。这是一个典型的最优化问题。构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。很明显，k的选择独立于Y。上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。2.3 （a）假设事先知道在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻前后消费之间的关系。）（b）假设事先知道，在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻前后消费之间的关系。)答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期内，从到。考虑家庭在时期减少每单位有效劳动的消费为。然后他在投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。这一变化有一效用成本，在会有一收益，财富的回报率为，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：在时，有下式：因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。2.4 设方程（2.1）中的瞬时效用函数为。考虑家庭在（2.6）的约束下最大化方程（2.1）的问题。请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、以及效用函数各参数的函数。答：2.12.6本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。（1）（2）令建立拉格朗日方程：求一阶条件：抵消项得：（3）可以推出：（4）将其代入预算约束方程，得：（5）将代入上式，得：（6）只要，则积分项收敛，为，则：（7）将方程（7）代入（4）：（8）因此，初始消费为：（9）个人的初始财富为，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡增长路径上是独立于利率的。对于折现率而言，越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）（2.2）式给定。假设实际利率不变，令W表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值(2.6)的右端。已知r、W和效用函数中的各参数，求C的效用最大化路径。2.12.2答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：（1）（2）W代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r是常数。建立拉格朗日方程如下：求一阶条件，可得：抵消，得：（3）两边对时间t求导，可得：得到下面的方程：（4）将方程（3）代入（4），可得：抵消然后求消费的增长率，可得：（5）由于利率r是常数，所以消费的增长率为常数。如果，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。如果，则决定了消费增长的幅度。值越低，也就是替代弹性越高，越高，即消费增长的越快。重写方程（5），得：（6）对方程（6）积分，积分区间是从时间=0到时间=t，可得：上式可以简化为：（7）对方程（7）两边取指数，可得：，整理得：（8）下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：将代入上式，可得：（9）只要，从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：（10）将方程（10）代入（9）中，求解：（11）将方程（11）代入（8），求解：（12）上式便是C的效用最大化路径。2.6 生产力增长减速与储蓄。设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞卡斯库普曼期模型，假设g永久性下降。（a）曲线会如何变化（如果有影响）？（b）曲线会如何变化（如果有影响）？（c）当g下降时，c如何变化？（d）用一个式子表示g的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。能否判断此表达式的正负？（e）设生产函数是柯布道格拉斯函数，请用、n、g、和重新表示（d）中的结果。（提示：利用等式。）答：（a）关于资本的欧拉方程为：（1）该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。图2-1 拉姆塞模型在平衡增长路径上，由此可以推出：。在该方程中，当g永久性地下降时，会导致消费c上升以保持方程的均衡。因而在图形上曲线向上移动。同时，保持k不变，g永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资下降的幅度更大，因而在更高的k水平上，向上移动得更大。图2-1是该模型的图示。（b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：（2）该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。在平衡增长路径上，要求，即，在g永久性地下降时，为保持，必须下降。由于，因而下降必然导致k上升。因此，必须上升，在图形上表现为向右移动，如图2-1所示。（c）在g永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在平衡增长路径处。与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着g永久性地下降而迅速变化。为使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径，每单位有效劳动的消费c必将发生变化。不过，此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费c是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费c甚至可能保持不变。因此，c和k逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于原先的平衡增长路径值。（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：因为k保持不变，即，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：（3）对方程（3）两边关于g求导数，可得：可以再简化为：（4）由于由决定，对该式两边关于g求导数，可得：，从而求出为：（5）将方程（5）代入（4）中，可得：（6）在方程（6）中，分母为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。因此，无法判断在平衡增长路径上g永久性地下降会使s上升还是下降。（e）将柯布道格拉斯生产函数，和代入方程（6）中，可得：简化为：从上式可以推出：最终有下面的结果：2.7 说明下列变化如何影响图2.5中的线和线，并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的c值和k值。（a）上升（b）生产函数向下移动。（c）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。图2-2 鞍点路径答：（a）关于c与k的欧拉方程为：（1）（2）的上升即消费的跨期替代弹性下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。这种情况使家庭更偏好于即期消费。由于没有出现在资本积累方程（2）中，因而资本积累方程不受的上升的影响。在消费的动态方程中，在平衡增长路径上，从而，由于的上升，因而必须上升，又因为，所以为使，k必须下降。此时向左移动，消费移动到新的鞍点路径A点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点，此时和低于原先的值。如图2-3所示。图2-3 上升的影响（b）由于生产函数的向下移动，因而和都变小了，如图2-4所示。图2-4 生产函数向下移动根据资本的欧拉方程：，在平衡增长路径上，因而有。由于变小，因此这条曲线会向下移动，如图2-5所示。根据消费的欧拉方程：，在平衡增长路径上，从而，由于变小，为保持，必须使k下降，从而使保持不变。因此向左移动，如图2-5所示。经济最终将收敛到新的均衡点点，此刻和低于原先的值。图2-5 生产函数向下移动的影响（c）由于折旧率由0变为正数，因而资本的欧拉方程变为：（3）由于折旧率由0变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动，如图2-6所示。图2-6 持平投资线向左移动这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。由于持平投资变大，因此会向下移动，如图2-7所示。图2-7 折旧率由0变为正数的影响资本的回报也下降为：，从而消费的欧拉方程变为：（4）在平衡增长路径上，要求。与折旧率由0变为正数之前相比较，必须变大，从而k必须变小。由于k必须变小，这便要求曲线向左移动，如图2-7所示。经济最终将收敛到新的均衡点点，此刻和低于原先的值。2.8 请在折旧率为正的情形下推导类似于（2.39）的表达式。答：教材中方程（2.39）中折旧率为0的情形为：当考虑到折旧率的情况时，消费和资本的欧拉方程变为：（1）（2）对方程（1）和（2）分别在和处进行一阶泰勒展开，可得：