数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师A、等差数列知识点及经典例题一、数列由与的关系求由求时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。例根据下列条件，确定数列的通项公式。分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。解答：（1）（2）累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，第二种是利用等差中项，即。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则是等差数列；（2）前n项和法：若数列的前n项和是的形式（A，B是常数），则是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例已知数列的前n项和为，且满足（1）求证：是等差数列；（2）求的表达式。分析：（1）与的关系结论；（2）由的关系式的关系式解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n2）.是以=2为首项，以2为公差的等差数列。（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)2=2n,=,当n2时，=2=。又，不适合上式，故。【例】已知数列an的各项均为正数，a11.其前n项和Sn满足2Sn2paanp(pR)，则an的通项公式为_a11，2a12paa1p，即22p1p，得p1.于是2Sn2aan1.当n2时，有2Sn12aan11，两式相减，得2an2a2aanan1，整理，得2(anan1)(anan1)0.又an0，anan1，于是an是等差数列，故an1(n1).（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为，故数列是等差数列。例已知数列的首项=3，通项，且，成等差数列。求：（1）的值；（2）数列的前n项和的公式。分析：（1）由=3与，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由=3得又，得由联立得。（2）由（1）得，（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,d0,且满足，前n项和最大；（2）若a10，且满足，前n项和最小；（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。例已知数列是等差数列。（1）若（2）若解答：设首项为，公差为，（1）由，（2）由已知可得解得【例】已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，满足关系式2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是bn，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn1.(1)解当n1时，由2Sn3an3得，2a13a13，a13.当n2时，由2Sn3an3得，2Sn13an13.两式相减得：2(SnSn1)3an3an1，即2an3an3an1，an3an1，又a130，an是等比数列，an3n.验证：当n1时，a13也适合an3n.an的通项公式为an3n.(2)证明bn，Tnb1b2bn(1)()()11.等差数列习题1. 设an为等差数列，Sn为an的前n项和，S77，S1575，已知Tn为数列的前n项数，求Tn2已知数列是等差数列，其前n项和为，（）求数列的通项公式；（）求12.解：设数列an的公差为d，则Snna1n（n1）dS77，S1575，a1（n1）d2（n1）数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn(2)n2n14解：（）设数列的公差为，由题意得方程组，解得，数列的通项公式为，即（），B、等比数列知识点及练习题等比数列及其前n项和（一）等比数列的判定判定方法有：（1）定义法：若，则是等比数列；（2）中项公式法：若数列中，则数列是等比数列；（3）通项公式法：若数列通项公式可写成，则数列是等比数列；（4）前n项和公式法：若数列的前n项和，则数列是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。例在数列中，。（1） 证明数列是等比数列；（2） 求数列的前n项和；（3） 证明不等式对任意皆成立。解答：（1）由题设得。又所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列。（2）由（1）可知，于是数列的通项公式为。所以数列的前n项和。（3）对任意的，所以不等式对任意皆成立。（二）等比数列的的运算等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量，显然，“知三求二”，通常列方程（组）求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。注：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。例设数列的前n项和为，且=2-2；数列为等差数列，且。（1） 求数列的通项公式；（2） 若，为数列的前n项和，求证：。【放缩法】解答：（1）由=2-2，得，又=，所以=，由=2-2得-得，是以为首项，以为公比的等比数列，所以=。（2）为等差数列，从而-得=（三）等比数列性质的应用在等比数列中常用的性质主要有：（1）对于任意的正整数若，则特别地，若；（2）对于任意正整数有；（3）若数列是等比数列，则也是等比数列，若是等比数列，则也是等比数列；（4）数列仍成等比数列；（5）数列是等比数列（q-1）；（6）等比数列的单调性注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。1.（全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.【解析】2. （辽宁理数）（6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（A） (B) (C) (D) 【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以， 3. （辽宁卷）（14）设为等差数列的前项和，若，则 15 。解： ,解得，4. （天津卷）（15）设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和。记设为数列的最大项，则= 。【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。因为8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。5. （上海卷）已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1