同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题()1. 设函数具有二阶导数, 且, 则.2. 设函数为可导函数, 且, 由参数方程所确定的函数的 导数.3. 极限.4. 微分方程的特解形式为(不需确定系数) .二 选择题()5. 设函数在内连续, 且, 则常数满足: . ; ; ; 6. 曲线, 没有水平渐近线但有铅直渐近线; 没有铅直渐近线但有水平渐近线; 没有水平和铅直渐近线; 有水平和铅直渐近线7. 将时的无穷小量排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: ; ; ; 8. 设函数在点的某个邻域内有定义, 且, 则在该点处 : 不可导; 可导且; 取得极大值; 取得极小值.三. 解答题()9. 求极限, 10. 计算定积分 11. 计算反常积分 12. 试求微分方程的通解 四. ()求曲线上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小. 五. ()设不定积分, (1)计算; (2)利用变换, 建立的递推公式 (1); (2)六. ()设函数在上连续, 且在上, 证明至少存在一点 , 使. 七. ()过坐标原点作曲线的切线, 记该切线与此曲线及轴所围成的平 面图形为, 试求: (1)平面图形的面积; (2)平面图形绕直线旋转一周所成的旋转体的体积, 八. ()已知是某个二阶常系数线性非齐 次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程. 同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题()1. 已知极限存在, 且函数满足: , 则 .2. 设函数, 则.3. 不定积分.4. 定积分.二. 选择题()5. 曲线的斜渐近线方程为 ; ; ; .6. 曲线上点处曲率 ; ; ; .7. 设为内连续的偶函数, , 则原函数 均为奇函数; 均为偶函数; 中只一个奇函数; 既非奇函数也非偶函数.8. 设为曲线上相应于的一段弧长, 为椭圆的周长, 则 ; ; ; .三. 解答题()9. 求极限. 10. 设是内的连续的奇函数, 且, 证明在处可导, 并求. 11. 求定积分, 其中表示不超过的最大整数. 12. 判定反常积分的收敛性, 如果收敛, 求出其值. 四. ()设是内的连续函数, 且, 试求极限. 五. ()设可积函数在内满足关系式: , 且当 时, 试求. 六. ()设为正整数, 函数, 求曲线与直线 所围平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积. 七. ()求微分方程的通解. 八. ()令, 化简微分方程, 并求其通解. 同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题()1. 极限.2. 若极限, 则.3. 积分.4. 积分.5. 微分方程的通解为.6. 记, , , . 则这项积 分的大小关系为 ;.7. 下列反常积分中收敛的反常积分是 ; ; ; 8. 若函数在连续, 则常数 ; ; ; .二. 解答题()1. 计算由曲线与直线所围平面图形的面积. 2. 若函数与具有阶导数, 试写出计算阶导数的莱布尼茨公式, 计算的阶导数. 3. 求函数的单调区间以及函数的极大与极小值. 4. 计算反常积分. 5. 求微分方程的解. 三. ()在长度单位为米的坐标中, 由方程与直线围成的薄片铅直 的浸入水中, 其中轴平行于水面且在水下米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力. 四. ()求积分, 五. ()1. 试求常数, 使得函数在=在区间上可导; 2. 若由该曲线段绕轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量向容器均匀 的注水, 试求该容器在水溢出前水深为时水面的上升速度. ;六. ()要建一个容积为, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知 顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的倍, 试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省. ,七. ()函数在上具有二阶导数, 并且, 对于任意, 由拉格 朗日中值定理, 存在, 使得. 证明定义了 上的一个单调增加函数. 递减唯一确定(函数); 又可证, 可得递增 同济大学2012-2013学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题()1. 函数的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为2. 在所对应点的曲率3. 极限4. 由方程所确定的函数在点的导数5. 函数在上连续, 则数列极限存在是函数极限存在的什 么条件? 充分条件; 必要条件; 充分必要条件; 无关条件.6. 在区间上, 函数连续的充分条件是: 存在; 可导; 具有原函数; 有界.7. 如果作换元, 则定积分等于 ; ; ; .8. 可导函数在区间上单调增加的充分条件是在该区间上 ; ; ; .二. ()1. 如图是函数的图像, 试在下列空格中填入恰当的符 号: ; 或. ; ; ; .2. 求极限 3. 计算不定积分 三. ()1. 求曲线的凹凸区间与拐点的坐标. ; 拐点:2. 计算反常积分. 3. 一个由曲线段绕轴旋转形成的容器内装满了比重为的均匀液体, 如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功. 四. ()试用适当的换元法求微分方程的通解. 五. ()试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区间 的函数未必连续. 最值定理; 介值定理; 反例略六. ()计算由曲线, 该曲线经过坐标原点的切线以及轴所围成图形的面积, 并 求该图形绕轴旋转所得旋转体的体积. 切线:;切点:; 七. ()试求微分方程的通解. 八. ()是以为周期的连续函数, 若, 求极限. 同济大学2013-2014学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择与填空题()1. 极限2. 利用定积分的几何意义，积分3. 微分方程的通解为4. 已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线，我方 拦截导弹的阵地位于轴正向公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的 两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射，并且我方导弹的 运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为，则该点满足的方程为 5. 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件 【】 充分条件; 必要条件; 充分必要条件; 无关条件.6. 是连续函数, 曲线段的弧长的计算公式为 【】 ; ; ; 无关条件.7. 函数具有三阶连续导数，如果，则下列四项积分中，积分值