江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第三次模拟考试试题(满分160分，考试时间120分钟)20205一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合Ax|x1，Bx|0x3，则AB_2. 已知复数z，其中i是虚数单位，则|z|_3. 已知双曲线C的方程为y21，则其离心率为_4. 根据如图所示的伪代码，最后输出i的值为_T1i2While T0)的图象关于直线x对称，则的最小值为_9. 已知正实数a，b满足ab1，则的最小值为_10. 已知偶函数f(x)的定义域为R，且在0，)上为增函数，则不等式f(3x)f(x22)的解集为_11. 过直线l：yx2上任意一点P作圆C：x2y21的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，PAB的面积为_12. 已知点P在曲线C：yx2上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点若OPOQ，则点P的纵坐标为_13. 如图，在等腰直角三角形ABC中，CAB90，AB2，以AB为直径在ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上若，则的最小值为_14. 已知e为自然对数的底数，函数f(x)exax2的图象恒在直线yax上方，则实数a的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC中，过点P作PDAB，垂足为D，点E，F分别是PD，PC的中点，且平面PAB平面PCD.求证：(1) EF平面ABC；(2) CEAB.16. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1) 求角A的大小；(2) 若cos(B)，求cos C的值17. (本小题满分14分)某工厂拟制造一个如图所示的容积为36立方米的有盖圆锥形容器(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1(2，0)，A2(2，0)，右准线方程为x4.过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D.直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D交于点H.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若HGA1D，试求直线A1D的方程；(3) 如果，试求的取值范围19. (本小题满分16分)已知函数f(x)x2(2a)xaln x，其中aR.(1) 如果曲线yf(x)在x1处的切线斜率为1，求实数a的值；(2) 若函数f(x)的极小值不超过，求实数a的最小值；(3) 对任意x11，2，总存在x24，8，使得f(x1)f(x2)成立，求实数a的取值范围20. (本小题满分16分)已知数列an是各项都不为0的无穷数列，对任意的n3，nN，a1a2a2a3an1an(n1)a1an恒成立(1) 如果，成等差数列，求实数的值；(2) 已知1.求证：数列是等差数列；已知数列an中，a1a2.数列bn是公比为q的等比数列，满足b1，b2，b3(iN)求证：q是整数，且数列bn中的任意一项都是数列中的项2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A，其逆矩阵A1，求A2.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l上两点M，N的极坐标分別为(2，0)，(2，)，求直线l被曲线C截得的弦长C. (选修45：不等式选讲)已知正数a，b，c满足abc2，求证：1.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点(1) 求线段AF的中点M的轨迹方程；(2) 已知AOB的面积是BOF面积的3倍，求直线l的方程23. 已知数列an中，a12，且an1aan1对任意nN恒成立求证：(1) an1anan1an2a2a11(nN)；(2) an1nn1(nN)2020届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)数学参考答案及评分标准1. (0，1)2. 13. 4. 85. 556. 7. 8. 9. 1110. (2，1)(1，2)11. 12. 113. 14. (2e1，015. 证明：在三棱锥PABC中：(1) 因为点E，F分别是PD，PC的中点，所以EF为PCD的中位线，(2分)则有EFCD.(3分)又EF平面ABC，CD平面ABC，所以EF平面ABC.(7分)(2) 因为平面PAB平面PCD，平面PAB平面PCDPD，ABPD，AB平面PAB，所以AB平面PCD.(11分)又CE平面PCD，所以ABCE.(14分)16. 解：(1) 由正弦定理，且，(1分)得，(2分)则有sin A2cos A，即sin Acos A2，2sin(A)2，故sin(A)1.(4分)因为A(0，)，则A(，)，所以A，即A.(6分)(2) 在ABC中，因为A，则B(0，)，B(，)，所以sin(B)0.因为cos(B)，所以sin(B).(8分)在ABC中，ABC，(9分)所以cos Ccos(AB)cos(AB)cos(B)(10分)cos(B)cos(B)cos sin(B)sin .(14分)17. 解：设圆锥形容器的底面半径为r米，高为h米，母线为l米，侧面积为S平方米，容积为V立方米，则V36.(1) 由r6，得Vr2h36，得h3，(1分)所以Srlr618.(2分)又底面积为r236(平方米)，(3分)故该容器的表面积为(1836)18(2)(平方米)(4分)答：该容器的表面积为18(2)平方米(5分)(2) 因为Vr2h36，得r2，其中h0，所以Srlr.(8分)记f(h)h，令f(h)10，得h6.(10分)当h(0，6)时，f(h)0，f(h)在(6，)上单调递增(12分)所以，当h6时，f(h)最小，此时S最小(13分)答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省(14分)18. 解：(1) 由椭圆C的左、右顶点分别为A1(2，0)，A2(2，0)，右准线方程为x4，得a2，4，故c1，b2a2c23.(2分)所以椭圆C的方程为1.(3分)(2) 设直线A1D：yk(x2)(k0)，则与右准线x4的交点D(4，6k)又A2(2，0)，所以设直线A2D：y3k(x2)，联立，得解得G(，)，(5分)则直线OG的斜率为kOG.因为OGA1D，故k1.又k0，解得k，(7分)则直线A1D的方程为y(x2)(8分)(3) 由(2)中可设直线OG：yx，联立，得解得H(，)(10分)联立，得解得P(，)(12分)因为，所以(xH2，yH)(xP2，yP)，则yHyP，f(k).(14分)因为f(k)在(0，)上为减函数，(15分)所以(，)(16分)19. 解：因为f(x)x2(2a)xaln x，所以f(x).(1分)(1) 因为曲线yf(x)在x1处的切线斜率为1，所以f(1)2(2a)1，解得a.(2分)(2) 当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即f(x)在(0，)上单调递增，故函数f(x)不存在极值(3分)当a0时，令f(x)0，得x.x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值(5分)则f(x)minf()aaln .因为a0，则ln 0.令g(a)ln ln 2ln a，则g(a)0，则g(a)在(0，)上单调递减(7分)又g(2)0，所以g(a)g(2)0，则a2，则实数a的最小值为2.(8分)(3) 记f(x)在1，2上的值域为A，在4，8上的值域为B，“任意x11，2，总存在x24，8，使得f(x1)f(x2)成立”等价于“AB”当1或8，即a2或a16时，由(2)知f(x)在1，8上为单调函数，不合题意；(9分)当12，即2a4时，由(2)知f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，故f()A，但f()B，不合题意；(10分)当24，即4a8时，Af(2)，f(1)，Bf(4)，f(8)，由AB，得则解得(11分)因为0ln 21，则22ln 23，即42.7，计算得e324，则ee324，即ln 244ln 2，即78ln 2，也即2124ln 2，则80，即8.所以a8