2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集，2，3，4，集合，则AB，C，D，2，3，2设，则ABCD3已知命题，；命题，则下列命题中为真命题的是ABCD4函数的最小正周期和最大值分别是A和B和2C和D和25若，满足约束条件则的最小值为A18B10C6D46ABCD7在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为ABCD8下列函数中最小值为4的是ABCD9设函数，则下列函数中为奇函数的是ABCD10在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为ABCD11设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为ABCD212设，若为函数的极大值点，则ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。13已知向量，若，则14双曲线的右焦点到直线的距离为15记的内角，的对边分别为，面积为，则16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和（1）求，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）18（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积19（12分）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前项和证明：20（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2（1）求的方程；（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值21（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1（1）写出的一个参数方程；（2）过点作的两条切线以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集，2，3，4，集合，则AB，C，D，2，3，【思路分析】利用并集定义先求出，由此能求出【解析】：全集，2，3，4，集合，2，3，故选：【归纳总结】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题2设，则ABCD【思路分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解析】：解法一：由，得故选：解法二：（山西运城刘丽补解）：等式两边同乘可得。两边再同乘即得结果为，故选：【归纳总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3已知命题，；命题，则下列命题中为真命题的是ABCD【思路分析】先分别判断命题和命题的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案【解析】：对于命题，当时，故命题为真命题，为假命题；对于命题，因为，又函数为单调递增函数，故，故命题为真命题，为假命题，所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，故选：【归纳总结】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题4函数的最小正周期和最大值分别是A和B和2C和D和2【思路分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可【解析】：，当时，函数取得最大值；函数的周期为，最大值故选：【归纳总结】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5若，满足约束条件则的最小值为A18B10C6D4【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解析】：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为故选：【归纳总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题6ABCD【思路分析】直接利用二倍角的余弦化简求值即可【解析】：解法一：故选：解法二：（山西运城刘丽补解）：【归纳总结】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题7在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为ABCD【思路分析】我们分别计算出区间和的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案【解析】：由于试验的全部结果构成的区域长度为，构成该事件的区域长度为，所以取到的数小于的概率故选：【归纳总结】本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题8下列函数中最小值为4的是ABCD【思路分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项，利用基本不等式求出最值，即可判断选项，利用特殊值验证，即可判断选项【解析】：对于，所以函数的最小值为3，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项正确；对于，因为当时，所以函数的最小值不是4，故选项错误(详解D) 当x1时，lnx0,所以2（当且仅当lnx=2即x=时取等号）；当0x1时，lnx0,所以-2（当且仅当lnx=-2即x=取等号），综上，,所以选项D错故选：【归纳总结】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题9设函数，则下列函数中为奇函数的是ABCD【思路分析】先根据函数的解析式，得到的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为，从而得到答案【解析】：因为，所以函数的对称中心为，所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数，该函数的对称中心为，故函数为奇函数故选：【归纳总结】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题10在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为ABCD【思路分析】由，得是直线与所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线与所成的角【解析】：，是直线与所成的角（或所成角的补角），设正方体的棱长为2，则，直线与所成的角为故选：【归纳总结】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题11设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为ABCD2【思路分析】求出的坐标，设，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可【解析】：解法一：是椭圆的上顶点，所以，点在上，设，所以，当时，取得最大值，最大值为故选：解法二：（安徽滁州刘家范补解）：是椭圆的上顶点，所以，设P,因为点在上，所以，PB=5（1-）+-2+1=-4-2+6=-4（+）+，因为-11，所以当= 时，PB最大值为，即PB最大值为【归纳总结】本题考察的考点时椭圆的基本性质（纵坐标的范围），利用二次函数求最值的的方法，考查划归转化思想和计算能力，属中档题。12设，若为函数的极大值点，则ABCD【思路分析】分及，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现，的大小关系，进而得出答案【解析】：令，解得或，即及是的两个零点，当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；综上，故选：【归纳总结】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。13已知向量，若，则【思路分析】根据题意，由，可得关于的方程，再求出即可【解析】：因为，所以，解得故答案为：【归纳总结】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题14双曲线的右焦点到直线的距离为【思路分析】求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可【解析】：双曲线的右焦点，所以右焦点到直线的距离为故答案为：【归纳总结】本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题15记的内角，的对边分别为，面积为，则【思路分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于的方程，解方程可得【解析】：的内角，的对边分别为，面积为，又，（负值舍）故答案为：【归纳总结】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为或（写出符合要求的一组答案即可）【思路分析】通过观察已知条件正视图，确定该三棱锥的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形【解析】：观察