第四节 简谐激励振动理论的应用一、 旋转不平衡质量引起的强迫振动（一）运动方程及其解在高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源之一。一个旋转机械的力学模性：设旋转机械总质量为，转子的偏心质量为，偏心距为，转子的转动角速度为。选静平衡位置为坐标原点，坐标表示机器离开静平衡位置的垂直位移，而偏心质量的位移为根据牛顿运动定律，列出系统的振动微分方程整理后，得 （3-18）上式的形式与方程（3-1）相似，只是由代替了，故前面所有的分析都可适用。设 ， ， 则方程（3-18）的稳态响应为式中振幅为显然，相位差为可见，偏心质量引起的强迫振动的振幅与不平衡质量成正比。为了减小振动，旋转机械的转子通常要作平衡试验，使质量分布尽可能均匀。（二）幅频特性放大因子定义为 （3-19）以放大因子为纵坐标，频率比为横坐标，阻尼比为参数，画出幅频特性曲线。由曲线可见：1. 当时，即振幅接近于零。2. 当时，即振幅趋近于常数，即 而与激励频率及阻尼比基本上无关。3. 共振发生在 即 时，位于的右边，共振振幅为当阻尼很小时（），可以认为当 即 发生共振，共振振幅为例题：一台惯性式激振器安放在机器正上方，以测定机器的振动特性。激振器有一对带有偏心质量、等速反向旋转的齿轮组成。当旋转角速度为时，偏心质量的离心惯性力在水平方向合力为零，在垂直方向合成激振力me2sint，其中m为总的偏心质量，e为偏心距。通过改变转速，测得共振时的垂直振幅为1.07cm，而超过共振很远时，垂直振幅趋于定值0.32 cm。若偏心质量为12.7kg，偏心距为15 cm，支承弹簧刚度为k=976.7N/cm。计算（1）支承阻尼器的阻尼比；（2）转速为N=300r/min时机器的垂直振幅。解：设机器和激振器的总质量为M。系统的振动微分方程为（1） 共振时（r =1） 的振幅为 而r 1（超过共振很远时）时有 所以阻尼比（2） 当转速为N=300r/min时，激励频率为 （rad/s）由 和 ，得 （rad/s）频率比 则机器的振幅为例3-2：桥式起重机运行机构采用高速空心轴传动，轴的两端由调位轴承支承，轴上无别的零件。空心轴的内径d1为，外径为d2，两支承间距离为，求轴的临界转速（r/min）。轴的临界转速ncr为: 。故只要知道梁的固有频率即可求出轴的临界转速ncr。求连续梁第一阶固有频率时，其模型可按如下简化（离散化）：将梁离散为三点：两个端点和一个中点，其中梁的两端端点的质量各为总质量的四分之一，即，中点的质量为总质量的二分之一，即。如图所示。这样处理后，可以把梁看作是抗弯刚度为EI、无质量的弹性梁。由静变形法，知 式中是梁中点的静变形，由材力知二、 基础运动引起的强迫振动在许多情况下，系统受到的激励来自于支承的运动，例如固定在机器上的仪表，汽车在不平的路面行驶时的振动等等，都是支承运动引起的强迫振动。（一） 运动方程及其解如图所示是受基础激励的振动力学模型。以系统静平衡位置为坐标原点建立坐标系： - 质量块的位移 - 基础的位移 设基础运动规律为 由牛顿运动定律，得 （3-20）即 （a）或也可写成： 利用复指数法求解上式。用代换，所以 ， 代入式（a），得 （b）假定方程（b）的解为 （c）式中 - 复振幅则 带入方程（b），得 （d）则实振幅为 （e）相位差 （3-27）故方程（b）的解为 （f）由于方程（3-20）中的激励力是正弦函数，所以方程（3-20）的解也只能取式（f）的虚部，故方程（3-20）的解为 （g）（二） 幅频特性令振幅放大因子为 （3-28）以放大因子为纵坐标，频率比为横坐标，阻尼比为参数，画出幅频特性曲线。由此可见，它与简谐激励力作用下的响应曲线基本相同。 所不同的是：1. 当时，振幅等于基础运动振幅，与阻尼无关。2. 当时，振幅小于基础运动振幅，增加阻尼反而使振幅增大。例题：试求图示系统在上端有基础运动的稳态响应。已知和激励频率 。解：系统的运动微分方程为即固有频率为频率比为 思考问题：（1）此题是用3.2中的式（3-4）还是用3.4.2基础激励中的公式（h）来求解该题的响应？（2）此题相位差为多少？振幅为相位差为 则系统的响应为例题3-3： 如图为汽车的拖车在波形道路上行驶，引起垂直方向振动的简化模型。已知，车速。满载时拖车质量 ，。空载时拖车质量 。路面成正弦波形，可表示成，其中。求：满载和空载时车辆的振幅比。解：（1）基础激励的频率（2）空载时的阻尼比 阻尼系数 （3） 满载和空载时的频率比满载时系统的固有频率满载时频率比 空载时系统的固有频率空载时频率比 （4）满载和空载时车辆的振幅比满载时 空载时 三、 隔振机器超过允许范围的振动影响着本身的正常运行及寿命，而且还造成环境污染，影响周围设备的正常工作和人体健康，有效地隔振是相当重要的问题。隔振就是在振源和振体之间设置隔振系统或隔振装置，以减少或隔离振动的传递。隔振分为两类：主动隔振 - 隔离机械设备通过支座传递至地基的振动，以减少动力的传递。被动隔振 - 防止地基的振动通过支座传递至需保护的精密设备或仪器仪表，以减少运动的传递。隔振装置通常由合适的弹性材料及阻尼材料组成，例如钢弹簧、橡胶、软木、毡类等。1. 主动隔振振源是机器本身。主动隔振的目的是减少传递到地基上的力。其隔振效果用力传递率（系数）表示，它定义为隔振后机器的强迫振动为 ， 故机器通过弹簧传递到地基上的力为 机器通过阻尼器传递到地基上的力为 其合力为式中 （3-3）所以力传递率为 （3-29）2. 被动隔振被动隔振振源来自地基运动。被动隔振的目的是减小传递到机器的运动，其隔振效果用位移传递率（系数）来表示，它定义为 显然有 （3-28）比较主动隔振式（3-29）和被动隔振式（3-28）可知，主动隔振式和被动隔振的原理是相似的。故此，力传递率（系数）和位移传递率（系数）统称为传递率（系数），用符号表示。所以有传递率有如下特点：（1）不论阻尼大小，只有当频率比（即）时，才有传递率，即隔振才起作用。（2）当频率比后，随着的增加，传递率逐渐减小； 当频率比之后，传递率的减小趋于平缓。故隔振效果提高是有限度的。通常频率比取值范围在2.55内。（3）当频率比后，增加阻尼反而使隔振效果变坏，即例题3-4 一电动机质量为，安装在质量为的隔振铁块上，两者装在一起后的固有频率为，阻尼比，因电机失衡而产生激振力。试求：（1）隔振块的振幅；（2）传递到基础上的力。解：（1）由题已知 ， 质量 由式（3-3），得隔振块的位移（2）则通过弹簧和阻尼器传递到地基上的合力为 阻尼系数