概率论与数理统计习（第四版）题解答第一章 随机事件及其概率样本空间事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件表示“出现偶数点”，事件表示“出现的点数能被3整除”（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件及分别表示为样本点的集合；（3）事件分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的 集合解：设表示“出现点”，则（1）样本点为；样本空间为（2）； （3），表示“出现奇数点”；，表示“出现的点数不能被3整除”；，表示“出现的点数能被2或3整除”；，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和“点数之和大于10”，“点数之和小于15” （2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5从中任取3只，“最小号码为1”解：(1) 设表示“点数之和等于”，则； (2) 设表示“出现号码为”，则三、设为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) 发生, 与都不发生； (2) 都发生； (3) 中至少有两个发生； (4) 中至多有两个发生解：(1) ；(2) ；(3) 或 (4) 或或四、一个工人生产了n个零件，以表示他生产的第 个零件是合格品（）用表示下列事件： （1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品解：(1) ；(2) 或；(3) (4) 或第二章 概率的古典定义概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率解：基本事件总数为有利事件总数为设表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率解：基本事件总数为指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共种；这三本书的排列顺序数为；故有利事件总数为(亦可理解为设表示“指定的三本书放在一起”，则三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数 设表示“最强的两队被分在不同组”，则四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率解：设表示“出现的次品为件”，表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 因为，所以而 故 五、一批产品共有200件, 其中有6件废品求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率解：设表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；表示“取出的3件产品中没有废品”；表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则(1) (2) (3) 六、设求A, B, C至少有一事件发生的概率解：因为，所以，从而可推出设表示“A, B, C至少有一事件发生”，则，于是有 第三章 条件概率与概率乘法定理全概率公式与贝叶斯公式一、设求解：因为，所以，即二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设表示“第一次拨通”，表示“第二次拨通”，表示“拨号不超过两次而拨通”（1）（2）三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率解：设表示“第台机床加工的零件”；表示“出现废品”；表示“出现合格品”（1） （2）四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率解：设表示“第次击中”，则由题设，有，得，从而有， 设表示“三次之内击中”，则，故有 （另解）设表示“猎人三次均未击中”，则故所求为 五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率解：设表示“第一次取得个新球”，则 设表示“第二次取出的都是新球”，则 第四章 随机事件的独立性独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率解：设表示“第台机床不需要照管”，则 再设表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则于是有 （另解）设表示“有台机床需要照管”，表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则且、互斥，另外有故二、电路由电池与两个并联的电池及串联而成设电池损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率解：设表示“损坏”；表示“损坏”；表示“损坏”；则 又设表示“电路发生间断”，则 于是有 三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为、，求能将此密码译出的概率解：设表示“甲能译出”；表示“乙能译出”；表示“丙能译出”，则 设表示“此密码能被译出”，则，从而有（另解），从而有四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为飞机被一人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中，则飞机必被击落求飞机被击落的概率解：设表示“甲命中”；表示“乙命中”；表示“丙命中”；则 设表示“人击中飞机” ，则 设表示“飞机被击落”，则由题设有 故有五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率解：设表示“第人贡献正确意见”，则 又设为作出正确意见的人数，表示“作出正确决策”，则 六、每次试验中事件A发生的概率为p，为了使事件A在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p，问至少需要进行多少次试验？解：设做次试验，则要，即要，从而有答：至少需要进行一次试验第五章 离散随机变量的概率分布超几何分布二项分布泊松分布一、 一批零件中有9个合格品与3个废品安装机器时从这批零件中任取1个如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布解：设表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则的概率分布为0123即0123亦即0123二、 自动生产线在调整以后出现废品的概率为生产过程中出现废品时立即进行调整求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布解：设表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设，则的概率分布为012三、 已知一批产品共20个，其中有个次品（）不放回抽样抽取个产品，求样品中次品数的概率分布；（）放回抽样抽取个产品，求样品中次品数的概率分布解：（1）设表示“取出的样本中的次品数”，则服从超几何分布，即的概率函数为从而的概率分布为01234即01234 （2）设表示“取出的样本中的次品数”，则服从超几何分布，即的概率函数为从而的概率分布为0123456即0123456四、 电话总机为300个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）解：（1）用二项分布计算 （2）用泊松分布计算 相对误差为五、 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生次数不少于3次时，指示灯发出信号现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率解：设表示“事件发生的次数”，则，于是有 （另解） 六、 设随机变量的概率分布为 ；其中0为常数，试确定常数解：因为，即，亦即，所以第六章 随机变量的分布函数连续随机变量的概率密度一、 函数可否是连续随机变量的分布函数？为什么？如果的可能值充满区间： （1）（）；（2）（）解：（1）设，则因为，所以不能是的分布函数（2）设，则且，因为，所以在（）上单增综上述，故可作为的分布函数二、函数可否是连续随机变量的概率密度？为什么？如果的可能值充满区间： （1）； （2）； （3）解：（1）因为，所以；又因为，所以当时，函数可作为某随机变量的概率密度 （2）因为，所