生活中的数学校本课程目录第一讲：生活中的趣味数学 第二讲： 数学中的悖论 第三讲：对称自然美的基础第四讲：斐波那契数列第五讲：龟背上的学问第六讲：巧用数学看现实第七讲：运用数学函数方程解决生活中的问题第八讲：生活中的优化问题举例第一讲：生活中的趣味数学1“荡秋千”问题：我国明朝数学家程大位（15331606年）写过一本数学著作叫做直指算法统宗，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用西江月词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记； 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（每5尺为一步），秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？下面我们用勾股定理知识求出答案：如图，设绳索AC=AD=x（尺），则AB=（x+1）-5（尺），BD=10（尺）在RtABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即（x-4）2+102=x2，解得x=14.5，即绳索长为14.5尺2方程的应用：小青去植物园春游，回来以后爸爸问他春游花掉多少钱。小青并不直接回答，却调皮地说：“我带出去的钱正好花了一半，剩下的元数是带出去角数的一半，剩下的角数与带出去元数相同。”爸爸踌躇一下，有些为难。你能否帮助他把钱数算出来，小青到底带了多少钱？花了多少钱？还剩多少钱？方法一：设带出去x元,y角.根据剩下的元数是带出去角数的一半知道y是偶数花了的钱分x为奇数与偶数情况（1）x是奇数时候,花一半就是花了=剩下=(x-1)/2元,(y/2+5)角根据后面两句话知道,剩下=y/2元,x角有二元一次方程组:(x-1)/2=y/2,y/2+5=x 解得x=9,y=8（2）x是偶数时候,花一半就是花了=剩下=x/2元,(y/2+5)角剩下的同上面情况有二元一次方程组:x/2=y/2,y/2+5=x 解得x=y=10 但是没有10角钱说法 不符合实际（舍）答案是9元8角方法二：设带出去X元Y角，还剩a元b角 按照用掉一半还剩一半的等式： 10a + b = ( 10x + y)/ 2 又因为： a = y / 2 b = x 带入等式化简即可得：x / y = 9 / 8 因为 y 只能是小于10的整数 所以，小青带了9元8角！用了4元9角，还剩4元9角！3工资的选择：假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：（A） 工资以年薪计，第一年为4000美元以后每年加800美元；（B） 工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元。你选择哪一种方案？为什么？答案：第二种方案要比第一种方案好得多4我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。 经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。 每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。 问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？ 答案：日租金360元。 虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入； 扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润160*80-40*80=9600元。 当然，所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市，风险自担。 第二讲 数学中的悖论 “悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。1一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。悖论一览 1 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2 芝诺悖论阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米所以，阿基里斯永远追不上乌龟。 3 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话所有克里特人所说的每一句话都是谎话相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是真的。”同上，这又是难以自圆其说！4 跟无限相关的悖论： 1，2，3，4，5，是自然数集： 1，4，9，16，25，是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？ 5 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？ 6 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆； 如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆； 如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； 如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆； 7、“意外绞刑”悖论：“一名囚犯被法官告知将于周一到周五间的某一天被绞死。 法官并且声明说： 绞刑的具体日期将是完全出人意料的。 这个囚犯非常聪明 (也许以前是逻辑学教授)， 他由此推断出他根本不会被绞死，为什么？ 他由此推断出绞刑一定不会安排在周五， 因为否则的话， 前四天一过他就知道绞刑的具体日期了， 但法官说过具体日期会是完全出人意料的。 法官是不会撒谎的， 因此绞刑不可能在周五。 排除了周五， 就只剩下四天了。 但是依据同样的推理， 周四也可以被排除掉，.， 以此类推， 最终每一天都可以排除掉。 于是他得出令人欣慰的结论： 他根本不会被绞死。 可是到了周二法官却突然宣布执行绞刑， 大大出乎了他的意料！ 而这， 恰恰证明法官的确没有撒谎。” 1、小丁和小明、小红三个小朋友并排在有灰尘的楼梯上同时从顶上向下走。小明一步下2阶，小红一步下3阶，小丁一步下4阶，如果楼顶和楼底均有所有三个人的脚印，那么仅有一个人脚印的楼梯最少有几级？2、偶数的难题在很久以前，一个年迈的国王要为自己的独生公主选女婿，一时应者如云。国王于是想出了比武招亲的办法。经过文试、武试，三个英俊的小伙子成为最后的人选。要从这三个难分高下的小伙子中选出一个女婿来，可真难为了国王。他绞尽脑汁想出了一个方法。国王命人拿出一个4*4的方格，将16枚棋子依次放在16个方格中。国王对三个小伙子说：“现在你们从这枚棋子中随便拿去个，但要保证纵、横行列中留下的都是偶数枚棋子。这三个小伙子犯难了，最后，其中一个小伙子终于解开了这道难题，迎娶了公主。请问这个小伙子是怎样解开这道难题的？第三讲： 对称自然美的基础在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。它们引起人们的注意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础。 花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合。旋转时达到自相重合的最小角称为元角。不同的花这个角不一样。例如梅花为72，水仙花为60。“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。我国最早记载了雪花是六角星形。其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。既是中心对称，又是轴对称。 很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这种有趣的现象叫叶序。向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。 “晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。第四讲： 斐波那契数列斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3百合和蝴蝶花 5蓝花耧斗菜、金凤花、 飞燕草 8翠雀花 13金盏草 21紫宛 34，55，84雏菊 （3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。（4）斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。此外，你能发现一些连续的鲁卡斯数吗？（5）菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝，