第二十六讲 面积问题评说 平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角 计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有： 1直接法：根据面积公式和性质直接进行运算 2割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题 3等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化4等比法：将面积比转化为对应线段的比熟悉以下基本图形中常见的面积关系：注 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比； (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比 例题求解 【例1】 在梯形ABCD中，ABCD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，AOB的面积为S1，COD的面积为S2，则= (山东省竞赛题)思路点拨 本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：SAOD=SBOC=，S梯形ABCD=S1+S2+=(读者证明)，于是将问题转化为求梯形ABCD的面积 【例2】 如图，在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BDCE，BD4，CE=6，那么ABC的面积等于( )A12 B14 C16 D18(全国初中数学联赛试题) 思路点拨 由中点想到三角形中位线，这样ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE面积即可 【例3】如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且PAD=QAD，求证：S矩形ABCD=SAPQ (重庆市竞赛题) 思路点拨 把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明注意等线段的代换 【例4】 如图甲，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，SDMC、SDAC、SDBC分别表示DMC、DAC、DBC的面积，当ABCD时，有SDMC = (1)如图乙，若图甲中AB不平行CD，式是否成立?请说明理由； (2)如图丙，若图甲中A月与CD相交于点O时，问SDMC和SDAC和SDBC有何种相等关系?试证明你的结论 (安徽省中考题) 思路点拨 对于(1)，因DMC、DAC、DBC同底，要判断式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于M为AB中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含SDMC、SDAC、SDBC的等式寻找它们的关系注 本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证 通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径 【例5】如图，设P为ABC内任意一点，直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、F 求证：（1）；（2） 思路点拨 过P点、A点分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明注 有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法 用面积法解题的基本步骤是： (1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式 (2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果 当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试一试学力训练1如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花 株(第14届“希望杯”邀请赛试题)2如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 (2003年上海市中考题) 3如图，在ABC中，B=CAD，则= (重庆市竞赛题)4如图，梯形ABCD中，ABCD，ABa，CD=b(ab)，对角线AC与BD相交于O，BOC的面积为梯形ABCD的面积的，则= 5如图，在四边形ABCD中，A135，B=D=90，BC=2，AD=2，则四边形ABCD的面积为( ) A4 B4 C4 D 6 (湖北省荆州市中考题)6ABCD是边长为1的正方形，BPC是等边三角形，则厶BPD的面积为( ) A B C D (武汉市选拔赛题)7如图，在ABC中，ACB90，分别以AC、AB为边，在ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CKAB分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为( ) AS1=S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定，与的大小有关(2002年8有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图)，其中AB110m，BC=80m，CD=90m，EDC=135现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( )(2003年广州市中考题)9今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案(2000年山东省竞赛题) 10如图，已知梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，OCD的面积为11cm2，求蝶形(阴影部分)的面积11探究规律： 如图a，已知：直线m n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点 (1)请写出图a中，面积相等的各对三角形 ； (2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有 与ABC的面积相等理由是： 解决问题： 如图b，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图经过多年开垦荒地，现已变成如图c所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c中折线CDE)还保留着张大爷想过正点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案(不计分界小路与直路的占地面积)(1)写出设计方案，并在图c中画出相应的图形；(2)说明方案设计理由 (河北省中考题)12如图，ABC中，AD与BE相交于F，已知SAFB=12cm2，SBFD=9cm2，SAFE=6cm2，那么四边形CDFE的面积为 cm2(我爱数学夏令营竞赛题)13如图，分别延长ABC的三边AB、BC、CA至A、B、C，使得AA=3AB，BB=3BC，CC=3AC，若SABC=1，则SABC= 14如图，设ABC的面积是1，D是边BC上一点，且，若在边AC上取一点，使四边形ABDE的面积为，则的值为 (天津市竞赛题)15如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 (全国初中数学联赛试题)16如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连结AF、CE，设AF与CE的交点为G，则等于( ) A B C D (全国初中数学竞赛题)17如图，AEAB且AEAB，BCCD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( )A50 B62 C65 D68 (山东省竞赛题)18如图，在ADC中，EFBC，SAEF=SBCE，若SABC=1，则SCEF等于( ) A B C D (四川省竞赛题)19已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( ) A165 D135 C 150 D120 (“希望杯”邀请赛试题)20如图，在锐角ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点，P、Q、R分别是ADF、BDE、CEF的三条中线的交点(1)求DEF与ABC的面积比；(2)求PDF与ADF的面积比；(3)求多边形PDQERF与ABC的面积比( “希望杯”邀请赛试题) 21如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB、CD的中点分别为K、M，求证：S四边形ABCD=SABM+SDCK22如图，已知D、E、F分别是锐角ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP=BP=CP=6，设PD =x，PE=y，PF=z，若xy+yz+ z x=28，求xyz的值23如图，在ABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直线都将ABC分成等积的两部分?为什么?24如图，以ABC的三边为边向形外分别作正方形ABDE，CAFG，BCHK，连结EF，GH，KD，求证：以EF，GH，KD为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于ABC面积的3倍 (北京市竞赛题) 思考 如图，设G(也称重心)为ABC三条中线AD、BE、CF的交点，则，请读者证明1用心 爱心 专心