第五章 概率、概率分布与临床决策练 习 题一、最佳选择题1若事件A和事件B互不相容，则一定有（ ）。A. P(A+B)=P(A)+P(B) B. P(A+B)=P(AB)C. P(AB)= P(A) P(B) D. P(AB)= P(A) E. P(BA)= P(B)2若人群中某疾病发生的阳性数X服从二项分布，则从该人群随机抽取n个人，阳性数X不小于k人的概率为( )。A. P(k)+ P(k+1)+ P(n) B. P(k+1)+ P(k+2)+ P(n)C. P(0)+ P(1)+ P(k) D. P(0)+ P(1)+ P(k-1)E. P(1)+ P(2)+ P(k-1)3Poisson分布的标准差和平均数的关系是( )。A. = B. 4当n很大，二项分布在下列条件下可用Poisson分布近似（ ）。A. B. C. D. E. 5对于任何两个随机变量X1和X2，一定有( )。 A. E(X1+X2)E(X1)+E(X2) B. V (X1+X2)V (X1)+ V (X2) C. E(X1+X2)E(X1)E(X2) D. V (X1+X2)V (X1)V (X2)E. E(X1+X2)E(X1X2)二、问答题1简述概率的统计定义。2举例说明医学观察结果中的离散型随机变量和连续型随机变量。3举例说明医学现象中的先验概率和后验概率。4简述二项分布的应用条件。5简述Poisson分布的性质特征。6简述概率和概率分布在临床决策中的运用。三、计算题1已知某种非传染性疾病的常规疗法治疗的有效率为0.70。今对10名该疾病患者用常规疗法治疗进行，问至少有9人有效的概率为多少？如果用一种新的治疗方法治疗该病，10名患者全部治愈，试做出决策：在以后的治疗中，继续使用常规疗法治疗还是改用新疗法？2已知某肝癌的年发病率为900/10万，问在一次肝癌普查中，1000人的随机样本中查出的肝癌患者超过3人的概率是多少？3已知某人群某病的患病率为6。现采用一种新的方法作为诊断工具，在已确诊的病例组中94%被诊断为阳性，而非病例组中1.5%被诊断为阳性。试分别计算新方法诊断阳性时实际患该疾病的概率和新方法诊断阴性时实际未患该疾病的概率。练习题答案 一、最佳选择题解答 1. A 2. A 3. C 4. A 5. B 二、问答题解答1答：概率的统计定义随机事件A在次试验中出现次，计算出随机事件A出现的频率，由于是一个样本统计量，总是在其真正的概率附近摆动，当趋于无穷大时，趋于一个常数，则称该常数为随机事件A的概率。2答：在医学观察中只可能取有限个或无限可列个实数值的随机变量称为离散型随机变量，如用某药物治疗某种非传染病，要具体数一下此药治疗的有效或无效各多少个；某一人群的四种血型A、B、O、AB各多少个；某一单位有男、女各多少人等。对于无法一一列出各种可能的取值的随机变量称为连续性随机变量，如身高、体重、某一人群的年龄等。3答：先验概率是人们在抽样前对某现象发生概率的认识，如欲用Bayes判别方法，通过4个指标鉴别3类疾病，首先可根据经验取这3类疾病的概率都为13，这里的13就为先验概率。后验概率是人们在抽样后通过计算从而对此现象发生概率的认识。如通过计算得出这三类病的发病概率分别为0.982、0.018、0.000，这时的0.982、0.018、0.000就称为后验概率。 4答：二项分布的应用条件如下（1） 每次试验只会发生两种互斥的可能结果之一，即两种互斥结果的概率之和恒等于1。（2）每次试验产生某种结果（如“阳性”）的概率固定不变。（3）重复试验是互相独立的，即任何一次试验结果的出现不会影响其它试验结果出现的概率。5答：Poisson分布的性质特征如下（1）总体均数与总体方差相等；（2）当n很大，而很小，且为常数时，Poisson分布可看作是二项分布的极限分布；（3）当增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般而言，20时，Poisson分布资料可作为正态分布处理；（4）Poisson分布具备可加性。即对于服从Poisson分布的m个互相独立的随机变量X1，X2，Xm，它们之和也服从Poisson分布，且其均数为这m个随机变量的均数之和。6答：在决策分析中，由于各种“处理”的结局是不确定的，或者说不同的结局出现的概率大小不同，在一般情况下，决策者往往选择概率大的结局。因此，不同结局出现的概率或不同结局的概率分布，是临床决策的重要依据。 三、计算题解答1解：（1）可以认为对这10名患者进行常规治疗治疗后，有效人数X的概率分布服从二项分布。本例，n=10，=0.70，k=9，从而有即对这10名患者进行常规治疗后，至少有9人有效的概率为0.14931。（2）可以认为对这10名患者进行常规治疗治疗后，有效人数X的概率分布服从二项分布。在假定下（有效率仍为0.7），有二项分布计算X=10的试验结果是否为小概率事件。如下：0.05，属小概率事件，所以拒绝（有效率为0.7），接受，可认为新疗法比常规疗法更好。即在以后的治疗中，该用新疗法。2解：本题，属于Poisson分布，按Poisson分布计算的概率值为：即在1000人的随机样本中查出的肝癌患者超过3人的概率为0.013。3解：记为实际病例、为实际非病例；为诊断阳性、为诊断阴性。依题意有： =0.006 =1-0.006=0.994=0.94 =1-=1-0.94=0.06 =0.015 =1-=1-0.015=0.985从而由公式5-7，诊断阳性时，实际患该疾病的概率为 =0.2745而诊断阴性时，实际未患该疾病的概率为=0.99965