数值分析期末考试 一、 设，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数至少取几位有效数字？（4分）解：设有位有效数字。因为，所以可得的第一位有效数字为8（1分）又因为，令，可知至少具有3位有效数字（3分）。二、求矩阵的条件数（4分）。 其中 解： （1分） =7（1分） （1分）（1分）三、用列主元Gauss消元法法求解以下方程组（6分） 解： (4分)等价三角方程组为：（1分）回代得（1分）四、设1）求以为节点的3次Lagrange多项式；（6分）2）求以为节点的3次Newton多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由可得即得： 2）计算差商表如下： 一阶差商 二阶差商 三阶差商1-113-15-234-740-10-225-1则3）五、给定方程组，其中。试确定的取值范围，使求解该方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法均收敛。（10分）解：1）Jacobi迭代格式的特征方程为求得于是当且仅当时，Jacobi迭代法收敛（5分）2）Gauss-Seidel迭代格式的特征方程为:求得，于是得。故当时，求解该方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法均收敛。六、设，求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算的一个复化求积公式。（12分） 解：1） 当时，左边=右边当时，左边=右边当时，左边=右边当时，左边=右边当时，左边=右边因此，所给求积公式具有3次代数精度。（6分） 2）将作等分，记（2分）而由此可得复化公式=(4分)七、求在上的一次最佳平方逼近多项式。（8分）解：令所要求的多项式为：，即取，计算 (4分)得法方程组： 解方程组得，于是得一次最佳平方逼近多项式为（4分）八、写出方程的Newton迭代格式，并迭代一次求近似解（6分）(1) 在附近的根。(2) 在附近的根。解：（1）取，则 （3分）（2）则，取，则 （3分）九、已知三点Gauss公式（10分） ，用该公式估算的值。解：令，于是有：，于是，于是（5分）令，就得：（5分）十、龙格库塔（10分）取步长，写出用经典四阶Runge-Kutta方法求解初值问题的计算公式。解： （1分）（6分）取，其经典四阶Runge-Kutta计算公式为：（3分）十一、用乘幂法计算矩阵按模最大特征值和相应的特征向量。取，迭代两步即可。（7分）其中解： （3分） 相应特征向量取（4分）十二、设为个互异的节点，为这组节点上的次Lagrange插值基函数，证明：（8分）。证明：对于，令，则的次Lagrange插值多项式为 （2分）相应的余项为（2分）由于，所以，即（2分）从而得出即得证（2分）