专题7：导数及其应用问题归类篇类型一：切线方程一、前测回顾1曲线yx3上在点(1，1)的切线方程为 答案：y3x2解析：y 3x，则切线的斜率是3(1)，再利用点斜式2曲线yx33x22x过点(0，0)的切线方程为 答案：y2x或yx解析：y 3x6x2，设切点为（x，x33x22x），则切线的斜率为3x6x2切线方程为y(x33x22x)(3x6x2)(xx)，（0，0）代入，得x的值，从而得到切线方程二、方法联想涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件注意：(1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点(2)切点的三个作用：求切线斜率；切点在切线上；切点在曲线上三、归类巩固*1若曲线yxb是曲线ylnx (x0)的一条切线，则实数b的值为 .(已知切线方程求参数值) 答案：ln21，*2曲线y(x0)与曲线ylnx公切线（切线相同）的条数为 .（求两曲线的公切线条数）答案：1*3在平面直角坐标系xOy中，直线与曲线yx(x0)和yx(x0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2),则的值是 （已知两曲线的公共切线，求切点）答案 解析：由题设函数yx2在A(x1，y1)处的切线方程为：y2x1 xx12，函数yx3在B(x2，y2)处的切线方程为y3 x22 x2x23所以，解之得：x1，x2所以 *4若存在过点(1，0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，求a的值(已知公切线，求参数的值) 答案：或1解析：设曲线yx3的切点(x0，x)，则切线方程为yx3x (xx0)，切线过点(1，0)，所以x3x (1x0)，所以x00或x0，则切线为y0或yx，由y0与yax2x9相切，则ax2x90，所以a0且0；由或yx与yax2x9相切，则ax2x9x，所以a0且0。解得a的值为或1*5函数f(x)alnxbx2上一点P(2，f(2)处的切线方程为y3x2ln22，求a，b的值（已知切线方程求参数）答案：a2，b1，*6已知函数f(x)2x33x，若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求的取值范围（已知公切线条数，研究参数的范围）答案：t(3，1)解：设切点坐标(x0，y0)，切线斜率为，则有 切线方程为：y(2x3x0)(6x3)(xx0)因为切线过P(1，t)，所以将P(1，t)代入直线方程可得：t(2x3x0)(6x3)(1x0)t(6x3)(1x0)(2x3x0) 6x36x3x02x3x04x6x3 所以问题等价于方程t4x6x3，令g(x)4x36x23即直线yt与g(x)4x36x23有三个不同交点g(x)12x212x12x(x1)令g(x)0解得0x1 所以g(x)在(，0)，(1，)单调递减，在(0，1)单调递增g(x)g(1)1，g(x)g(0)3 所以若有三个交点，则t(3，1) 所以当t(3，1)时，过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切类型二 利用导数研究函数的单调性问题:一、前测回顾1.函数f(x)2x2lnx的减区间为 答案： (0，)解析：定义域为（0，）；求导，f (x)4x，令f (x)0，得x(0，)2函数f(x)x3ax24在(3，)上是增函数，则实数a的取值范围为 答案： a解析： f(x)x3ax24在(3，)上是增函数，则f (x)x2ax0对x(3，)恒成立2ax，2a3，则实数a的取值范围为a3. 已知函数f(x)lnxx，aR，求函数f(x)的单调区间.解析：f(x)1.令f(x)0，得x2xa0，记14a.(i) 当a时，f(x)0， f(x)单调减区间为(0，)；(ii) 当a时，由f(x)0得x1，x2， 若ax20，由f(x)0，得0xx1；由f(x)0，得x2x0，则x10x2，由f(x)x1；由f(x)0，得0xx1.f(x)的单调减区间为(，)，单调增区间为.综上所述：当a时，f(x)的单调减区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调减区间为，(，)，单调增区间为(，)；当a0时，f(x)单调减区间为(，)，单调增区间为.二、方法联想 (1)求函数的单调区间问题方法:判断导函数的符号 步骤：求函数定义域；求函数的导函数；解不等式f (x)0 (或f (x)0)，求出递增区间(或递减区间)注意：1求单调区间前先求定义域；单调区间是局部概念，故不能用“”连接，只能用“，”或“和” (2)已知函数的单调性，求参数的范围 方法：转化为不等式恒成立问题，即若f(x)在区间D上为增函数，则f (x)0在区间D上恒成立；若f(x)在区间D上为减函数，则f (x)0在区间D上恒成立注意 考虑f (x)0的情况三、归类巩固*1若函数f(x)x2lnx1在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围_(考查函数不单调，求参数的范围，本质是研究单调性）答案：1，)解析：定义域为(0，)，所以k10，即k1. 函数减区间为(0,)，增区间为(,) ，所以k1k1，即1k*2若函数f(x)kxlnx，在区间(1,)上单调递增，则k的取值范围是_（考查已知函数单调性，求参数取值范围)答案：,)* 3已知f(x)2ax(2a)ln x，当a0时，讨论f(x)的单调性（考查函数单调性的讨论)解析：f(x)2a(2a).当0a2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数；当a2时，f(x)在(0，)上是增函数；当a2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数*4已知a为实常数，yf(x)是定义在(，0)(0，)上的奇函数，且当x0，故f(x)在区间(，0)上是单调递增当a0时，x(，a)，f(x)0，所以f(x)在区间(，a)上是单调递增；x(a，0)，f(x)0时，f(x)单调增区间为(，a)，(a，)，单调减区间为(a，0)，(0，a)*5.设函数f(x)lnx，g(x)ax3（aR）求函数(x)f(x)g(x)的单调增区间。（考查函数单调性的讨论)解析：因为(x)f(x)g(x)lnxax3 (x0)，所以(x) a （x0）当a0时，由(x)0，解得x0；当a1时，由(x)0，解得x ；当0a1时，由(x)0，解得x0；当a1时，由(x)0，解得x0；当a0时，由(x)0，解得0x所以，当a0时，函数(x)的单调增区间为 (0，)；当0a1时，函数(x)的单调增区间为(0，)；当a1时，函数(x)的单调增区间为(，) *6(15年高考题). 已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)，试讨论f(x)的单调性；（考查函数单调性的讨论)解析：(1) f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20(x0)，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减*7. 若函数f(x)(x2cx5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是_（已知单调性，求参数取值范围）答案：(，4解析：若函数f(x)(x2cx5)ex在区间上单调递增，则f(x)x2(2c)x(5c)ex0在区间上恒成立，即x2(2c)x(5c)0在区间上恒成立，即c在区间上恒成立，令g(x)，则g(x)，令g(x)0，则x1或3，当x时，g(x)0，g(x)为减函数；当x(1，4时，g(x)0，g(x)为增函数；故当x1时，g(x)取最小值4，故c(，4*8定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f (x)1，f(0)4，则不等式ef(x)e3（其中e为自然对数的底数）的解集为 (考查根据导数性质确定函数单调性，利用函数单调性解不等式)答案：(0，)解析：令g(x)ef(x)e，则g (x)e(f(x)f (x)1)0，所以函数g(x)在R上单调增， 不等式ef(x)e3即为g(x)g(0)，所以解集为(0，)*9设连续函数f(x)在R上存在导函数f (x)，对于任意实数x，都有f(x)6x2f(x)，当x(，0)时， 2f (x)112x 若f(m2)f(2m)12m129m2，则m的取值范围为 .(利用导数研究函数的单调性、构造函数求参数范围, 准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；利用条件中提示)【答案】，)【解析】f(x)3x2f(x)3x20,设g(x)f(x)3x2，则g(x)g(x)