专题29 定义法或几何法求空间角一、单选题1在长方形ABCD中，AB=2AD，过AD，BC分别作异于平面ABCD的平面，若，则l与BD所成角的正切值是（ ）AB1C2D4【答案】C【分析】将异面直线平移到同一平面ABCD中即有l与BD所成角为，即可求其正切值.【详解】由及线面平行的判定定理，得，再由线面平行的性质定理，得所以与所成角是，从而故选：C【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条到同一平面内；（2）认定：确定异面直线所成的平面角； （3）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当角为钝角时，应取补角作为两条异面直线所成的角2在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）ABCD【答案】C【分析】利用正方体中，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，所以异面直线与所成角为，如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选:C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.向量法：求两直线的方向向量；求两向量夹角的余弦；因为直线夹角为锐角，所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.3已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据三棱柱的体积公式，求得，结合线面角的定义，即可求解.【详解】如图所示，底面是边长为的正三角形，可得，设点是的中心，所以，解得，又由，在直角中，可得，又，所以.故选：B.4空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（ ）ABCD【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义确定异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算【详解】AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，异面直线AC和BD所成的角是（或其补角），中，异面直线AC和BD所成的角为故选：B5如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【分析】取的中点，连接、，设，证明出四边形为平行四边形，可知异面直线与所成的角为或其补角，设，计算出三边边长，利用余弦定理计算出，即可得解.【详解】取的中点，连接、，设，设，、分别为、的中点，则且，在正三棱柱中，且，为的中点，所以，且，则四边形为平行四边形，所以，所以，异面直线与所成的角为或其补角，则，由余弦定理可得.因此，与所成角的余弦值为.故选：D.【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角6如图在四面体中，平面，那么直线和所成角的余弦值（ ）ABCD【答案】A【分析】设，分别取的中点，连接 ，则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，根据三角形的余弦定理可求得选项.【详解】设，分别取的中点，连接 ，则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，又平面，平面，所以 ，所以，又，所以在中，所以直线和所成角的余弦值为.【点睛】本题考查求异面直角所成的角，平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角7如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，那么二面角的大小为（ ）ABCD【答案】D【分析】过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，设，通过解三角形即可求出答案【详解】解：过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，如下图所示：设，又，为等边三角形，则，故选：D8如图，是正方体，则与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】A【分析】通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.【详解】过点A在平面内作，再过点在平面内作，如图，则或其补角即为与所成的角，因为是正方体，不妨设，则，所以在中，.故选：A.9在长方体中，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面与底面交于、两点，、分别在下底面的边、上，平面与棱交于点，则直线与侧面所成角的正切值为（ ）.ABCD【答案】A【分析】根据题意画出图形，通过分析可知，直线与侧面所成角为，则，然后根据图形中的几何条件分析计算出及的长度即可解得答案.【详解】延长和交于点，连接，平面，平面/平面，/平面，又平面，且，/，又/，又，且，且，又，根据线面夹角的概念可知，直线与侧面所成角为，则.故选：A.【点睛】本题考查直线与平面夹角的计算问题，利用定义法求解线面夹角时，一般步骤如下：（1）找出斜线在平面内的投影，或根据题目条件通过作辅助线找到投影，找到所求角；（2）根据几何条件计算所求角所在三角形的各边长；（3）根据解三角形的方法计算所求角的三角函数值.10如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（ ）ABCD【答案】A【分析】连接、交于，连，取的中点，连，根据正棱锥的性质可知，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接、交于，连，取的中点，连，如图：因为，所以，又因为四棱锥为正四棱锥，所以，由正四棱锥的性质可知，平面，所以，易得，所以，因为，且，所以，又都是锐角，所以，因为，且，所以，因为都是锐角，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.11已知在正方体中，分别为，上的点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【分析】取线段上一点，使，连接，证明（或其补角）为异面直线与所成的角，在中求出此角的余弦即可【详解】取线段上一点，使，连接，如图所示，因为，所以，所以，又，所以易知（或其补角）为异面直线与所成的角.正方体中平面，平面，所以，所以设该正方体的棱长为，则，所以在中，所以.故选：A【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所的角，并证明，然后再计算12如图所示，已知正方体，则直线与平面所成的角为（ ）A30B45C60D90【答案】B【分析】把与平面所成的角转化为与平面所成的角，根据线面垂直的判定定理，证得平面，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求解.【详解】由题意，在正方体中，可得，所以直线与平面所成的角，即为与平面所成的角，连接交于点，可得，又由平面，因为平面，可得由线面垂直判定定理，可得平面，所以为与平面所成的角，设正方体的棱长为1，可得,在直角中，因为，所以.故选：B.13如图，四棱锥中，为矩形，平面平面，是线段上的点(不含端点).设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据空间角的定义作出异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，归结在直角三角形中计算正弦值、余弦值，然后可得角大小【详解】如图，取中点，连接，而平面平面，平面平面，平面，连接，作交于，则平面，为直线与所成的角，即，作于，连接，则是直线与平面所成的角，即，显然，作交于，则，连接，由平面得，平面，是二面角的平面角，即，同样，由图可知，（都是锐角），（也是锐角），又，根据上面作图过程知是矩形，综上故选：D【点睛】本题考查空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是根据它们的定义作出这些角（平面上的角），然后利用三角函数值比较它们的大小14在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【分析】如图所示，分别取，的中点，则，为异面直线与所成角【详解】解：如图所示，分别取，的中点，则，为异面直线与所成角设，则，异面直线与所成角的余弦值为，故选：【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角15已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【分析】先由基本不等式得确定当且仅当时，取得最大值，接着求出，再取的中点，连接，并确定就是二面角的平面角，最后在三角形中由余弦定理求得解题.【详解】解：设，则由题意得：，所以，由基本不等式得：，当且仅当时，取得最大值，此时，所以，取的中点，连接，如图，则，则就是二面角的平面角，在等腰三角形中，因为，所以，在等腰三角形中，因为，所以，在长方体，求得，故在三角形中，由余弦定理得，故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查二面角的余弦值的求解，是中档题.求二面角的常用方法：（1）找（确定二面角的平面角）点（定义法）：再二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直与棱的射线；线