数学实验插值方法导言【请选择合适的字体阅读： 小 大】 作者：张建生改 文章来源：本站原创 点击数： 530 更新时间：2006-12-4 在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi,yi), i=0,1,n,.揭示出自变量x与因变量y之间的关系. 一般可以用一个近似的函数关系式y=f(x)来处理这一问题。给出函数关系式的方法，因观测数据与要求的不同而异，通常可以采用两种方法：曲线拟合和插值。 拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响，寻求整体误差最小、较好地反映观测数据的近似函数，并不保证或追求所得到的函数一定满足yi=f(xi)。侧重于从整体上把握问题， 拟合的方法将在下一章讨论。 插值则要求函数在每个观测点处一定要满足yi=f(xi).，本章主要介绍插值方法。插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为加权平均。插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而又十分重要的应用。例如，信息技术中的图像重建、图像放大中为避免图像的扭曲失真的而做的插值补点、建筑工程的外观设计、物理、化学工程实验数据与模型的分析、天文观测数据、地理信息数据的处理（如天气预报）以及社会经济现象的统计分析等等。 本章主要介绍插值的思想、方法和技术；如何利用MATLAB软件作插值计算；针对实际问题，进行建模、求解与分析；最后给出实验题目。数学实验插值方法引例【请选择合适的字体阅读： 小 大】 作者：张建生改 文章来源：本站原创 点击数： 769 更新时间：2006-12-44.2.1 引例1:函数查表问题 标准正态分布函数值(2.3456789)等于多少？ 一般是通过查表的方法.先对自变量作近似,2.34567892.35,再查表得到(2.35)=0.99061,所以(2.3456789) (2.35)=0.99061. 在对精度要求较高时,这种处理方法可能受到质疑,2.3456789介于2.34与2.35之间,不适于用(2.35)作为近似值吗.于是改进,函数值取二者的中点,即 (2.3456789)(2.34)+(2.35)/2=0.990485 比起前面的处理,此结果应该更好一些.但是精度究竟如何呢？如果需要更精确的结果,注意到能够利用的信息只有标准正态分布函数值表. 上面的问题变为利用一个表格给出的函数值，计算表格中未给出的函数值。这实质上就是插值问题。4.2.2 引例2:绘制地图 你曾使用过的地图最初从何而来？世界上第一张地图是如何绘制的？ 对某一地区国家，如何根据测绘部门测量的数据绘制一张该地区的地图？设想已经得到了一系列关于某地区地理边界的测量数据，边界点在地球上的经纬度属于球面坐标，对于不是太大的一个地区可以近似为平面坐标(xn,yn).剩下来的问题就是根据平面上一系列点，绘制一条封闭的平面曲线（地图的边界线）。这也是一个插值问题 最简单的方法是：首先在平面上画出所有这些点(称为节点，有序)，然后，用线段依次将相邻的节点两两连结起来，得到一条由折线段构成的封闭曲线地图的边界！这种方法实质上就是用两点间的直线段近似地代替未知的曲线段，也就是对每段曲线上的未知函数值，用直线段上相应的函数值来代替，这种方法称为分段线性插值。 在边界上的测量点不是太多的情况下，绘制出来的地图效果可能不是很好。通过增大测量点的数量，问题可以得到改善。但是这样的边界是折线，一般是不光滑的，这与实际使用的地图有较大差异。并且光滑性的要求在其他某些实际问题中非常重要，例如飞机、 轮船等的外形曲线设计就需要足够的光滑程度。 如何改进地图边界的绘制呢？可以考虑在每两点之间，采用已知类型的曲线段连接，并根据实际情况，加上衔接点处的光滑性要求。例如采用三次（多项式）曲线，这就给出了所谓的样条曲线和三次样条插值。 它们的表达式（分段函数，并且是分很多段）都很复杂。究竟这两种方法优劣如何？下面就来具体介绍这些插值方法上面提到的两种插值数学实验MATLAB插值计算作者：张建生改 文章来源：本站原创 点击数： 5384 更新时间：2006-12-4计算插值的软件很多,这里我们只介绍如何用MATLAB做一维插值和高维插值.4.4.1 一维插值 MATLAB中的插值函数为interp1(),其调用格式为 yi=interp1(x,y,xi, method) 其中x,y为观测数据点,xi为插值(自变量)向量,yi为xi的插值结果(函数值).method 表示采用的插值方法.MATLAB提供的插值方法有几种: nearest 最邻近插值; linear 线性插值; spline 三次样条插值; cubic 立方插值.缺省时表示线性插值. 注意:所有的插值方法都要求x是单调的,并且xi不能够超过x的范围. 例4.2 在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度为(摄氏度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13推测在每一秒时的温度.并利用不同的插值方法描绘温度曲线键入：x=0:2:24;y=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13;xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi,nearest);hold onplot(xi,yi,r);yi=interp1(x,y,xi,linear);plot(xi,yi,g);yi=interp1(x,y,xi,spline);plot(xi,yi,b);yi=interp1(x,y,xi,cubic);plot(xi,yi,y);还有其他的插值函数,如 interplq ,interpft, spline, intep2, interp3, interpN. 4.4.2 高维插值N维插值函数 interpN( ) 其中N可以为2,3,如N=2为二维插值,调用格式为 zi=interp2(x,y,z,Xi,Yi,method)其中x,y为横纵坐标上的坐标点,(x,y)=mashgrid(x,y)生成平面网格点,z为观测到的在网格点上的二元函数值.(x,y,z)构成空间插值节点.引入两个向量xi,yi.xi为横坐标上的插值点,yi为纵坐标上的插值点.便可给出Xi,Yi=meshgrid(xi,yi)zi为新的或者是加细了的网格点上产生的插值结果(函数值). method 表示采用的插值方法.nearest 最邻近插值,linear线性插值,cubic双三次插值.缺省时表示线性插值.所有的插值方法都要求x和y是单调的网格,x和y可以是等距的也可以是不等距的. 例如,产生一个山顶函数peaks曲面. 1)产生peaks的粗糙近似山顶曲面 x,y,z=peaks(10); hold onmesh(x,y,z) 2)通过插值作出更加精细的山顶曲面 xi=-3:.1:3;yi=xi; Xi,Yi=meshgrid(xi,yi); Zi=interp2(x,y,z,Xi,Yi,cubic); mesh(Xi,Yi,Zi) 例4.3 气旋变化情况的可视化 表4.1 是气象学家测量得到的气象资料,它们分别表示在南半球地区按不同纬度、不同月份的平均气旋数字.根据这些数据,绘制出气旋分布曲面图形. 解 下面用二维(interp2)三次(cubic)插值方法,可以得到不同月份按纬度变化的气旋值(插值结果),然后再作出其可视化图形,如图4.1MATLAB程序如下: x=1:12; y=5:10:85;z1=2.4 1.6 2.4 3.2 1.0 0.5 0.4 0.2 0.5 0.8 2.4 3.6;z2=18.7 21.4 16.2 9.2 2.8 1.7 1.4 2.4 5.8 9.2 10.3 16;z3=20.8 18.5 18.2 16.5 12.9 10.1 8.3 11.2 12.5 21.1 23.9 25.5;z4=22.1 20.1 20.5 25.1 29.2 32.6 33.0 31.0 28.6 32.0 28.1 25.6;z5=37.3 28.8 27.8 37.2 40.3 41.7 46.2 39.9 35.9 40.3 38.2 43.4;z6=48.2 36.6 35.5 40 37.6 35.4 35 34.7 35.7 39.5 40 41.9;z7=25.6 24.2 25.5 24.6 21.1 22.2 20.2 21.2 22.6 28.5 25.3 24.3;z8=5.3 5.3 5.4 4.9 4.9 7.1 5.3 7.3 7 8.6 6.3 6.6 ;z9=0.3 0 0 0.3 0 0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.3;z=z1;z2;z3;z4;z5;z6;z7;z8;z9;xi,yi=meshgrid(1:12,5:1:85);zi=interp2(x,y,z,xi,yi,cudic);mesh(xi,yi,zi) xlabel(月份),ylabel(纬度),zlabel(气旋), axis(0 12 0 90 0 50) title(南半球气旋可视化图形)还有两个二维插值函数e01sef和e01sff,它们分别被用于求散点数据的插值函数和插值函数值,通常是两者配合使用,其调用格式为： fnodes,a,rnw,b,c=e01sef(x,y,z); pf(i,j),ifail=e01sff(x,y,z,rnw,fnodes,px(j),py(i); 其中x,y,z为插值节点,均为向量；px(j),py(i)为被插值点;pf(I,j)为被插值. 表4.1 南半球地区按不同纬度 不同月份的平均气旋数据 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 1月 2.4 18