1/111） 【基本功-无穷小量的变形】通项变形手段a) 利用等于关系的变形b) 利用等价关系的化简c) 利用不等关系的化简2） 【概念和性质】-选择题的考点定义级数收敛部分和数列收敛 绝对收敛绝对值级数收敛 条件收敛级数收敛，同时，绝对值级数发散。线性性质收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散=未定？绝对收敛+绝对收敛=绝对收敛绝对收敛+条件收敛=条件收敛条件收敛+条件收敛=收敛（条件或绝对？）加括性质在收敛级数中加括号不改变收敛性；思考：如果加括号后级数发散，原级数如何？如果加括号后级数收敛，原级数如何？如果加括号后级数收敛，并且通项趋于零，原级数如何？解答: 发散；不定；发散级数加括号可能变成了收敛级数。如摆动级数 收敛；例如，两项相加后的级数的前项等于原级数的前项，于是加括级数收敛推出 收敛；结合通项趋于0推出 收敛到同一极限；从而收敛。（一般证明不做要求）添减律：添加减少或改动级数的有限项不会影响到级数的敛散性。子级数：收敛的正项级数的子级数还是收敛级数。3） 【各种判断法与适用范围】收敛充要条件部分和数列收敛；部分和数列有上界正项；收敛必要条件一般项趋于0发散充分条件一般项不趋于0；比值法中 【收敛的判别法-充分条件】正项 通项较大的级数收敛通项较小的级数收敛正项 通项同阶（等价）的级数敛散性完全一样正项 比值法，根值法若，则级数收敛；（时级数发散。）变号 绝对值级数收敛原级数收敛变号 交错级数的通项绝对值单调趋于0时，交错级数收敛。任意 分项法线性性质，加括法加括律，部分和法。 【避免以下不当推理】 ； 发散不趋于零； 绝对收敛条件收敛； 收敛4） 【常用数项级数】几何级数： 当时绝对收敛；其他情形发散级数： 当时收敛，其他情形发散；交错级数 当时绝对收敛， 时条件收敛，其他情形发散。 发散； 条件收敛； 发散B.常见题型【题型1: 判定级数的敛散性-标准方法的应用】【题型2: 判定推理的正确性：了解级数的性质，判别法的应用条件】【题型3: 判定级数的敛散性-综合难题】-数学一【题型4: 幂级数的收敛域：半径公式，中心点，换元法，端点讨论】C.范例分析-【题型1.1】【正项级数敛散性-标准方法：必要条件，比阶法，比值法，根值法；含参数的问题要讨论】 -（1）必要条件基础（0？作为初审程序。）注 大多数级数会满足这一条件，但要注意，即便满足也不能说它收敛，如调和级数发散。(2)比值法 (3)根值法 (4)根值法，参数讨论-(5)等价代换-综合解 对通项进行等价变形，得故与p级数对比, 级数在p =时收敛,其他情形发散。-(6)Taylor公式-综合( 等式变形，等价变形 )证 n(= 因此，发散； -练习： -【题型1.2】【判定变号级数敛散性】任务判定级数的发散，条件收敛，绝对收敛标准方法绝对值法，交错法通用法部分和法，分项法，加括法，-1.取绝对值放大设收敛，判敛散-2.取绝对值级数性质利用若 收敛，证明收敛。解 由收敛推出：（ 通项趋于零，有界；部分和收敛，有界；） ， 从而，故由比较法，收敛。拓展：收敛，收敛，则绝对收敛。-3.分项法： 收敛+发散=发散解 看出绝对值级数发散；同时又不符合莱布尼兹判别法的条件。通项= ，级数发散；而由于,故收敛;收敛+发散=发散，故原级数发散. 思考 如何？（分式上下同乘；收敛）-4.加括法：加括后发散，则原级数发散；加括后收敛，且通项趋于0，则原级数收敛。1判定级数的敛散性-三项加括相加后成为正项发散级数，原级数发散2判定级数的敛散性； -两项加括相加后成为负项收敛级数，且通项趋于0。原级数收敛。5.符号隐藏问题判定6.部分方和法 设非零数列满足，判定级数敛散性。解 绝对值级数发散：通项的绝对值题(ti)级数收敛： 使用部分和法，正负抵消而知道级数收敛于；故级数条件收敛。7. 取绝对值，比较法设，证明：（1） 当时，绝对收敛；（2） 当时，发散8. 若为正值单减数列，级数发散，讨论的敛散性（部分和方法）练习（1） 设单调递减收敛于正数，证明级数收敛.（2）设为正，且 ，证明：收敛。 (3) 设满足，证明收敛收敛.【题型2】【选择题-考察推理】1.设级数收敛，则必收敛的级数为 A . ， B. , C. ， D. .分析 选D. 线性性质。其他选项的反例：A有 B C有 2.若级数与级数都发散,则以下那个级数一定发散?A . ， B. , C. ， D. .分析 选C. 否则，由比较原理，条件中的两个级数便会收敛033设。则推理正确的是（A） 若条件收敛，则与都收敛；（B） 若绝对收敛，则与都收敛；（C） 当条件收敛时，与敛散性不定；（D） 当绝对收敛时，与敛散性不定；选B. 绝对收敛定理+线性性质。041设为正项级数，则以下结论对的是（A） 若，则收敛；（B） 若，则发散；（C） 若收敛，则；（D） 若发散，则；选B.比较原理043以下命题对的是（1） 若，则收敛；（2） 若收敛，则收敛；（3） 若，则发散；（4） 若收敛，则与收敛；选（2）（3）. 053设正项级数发散，但是收敛。则（A）收敛，发散；（B）发散， 收敛；（C） 收敛；（D） 收敛；选D. 结合排除法练习 判断命题的对错1. 若正项级数使得收敛，则收敛；【对】2. 若变号级数使得收敛，则收敛；【错】3. 若条件收敛，则、发散；【对】4. 若绝对收敛，则、收敛；【对】5. 若条件收敛，则发散；【对】6. 若条件收敛，则收敛；【对】7. 若条件收敛，则收敛；【错】8. 若与至少一个发散，则发散；【对】9. 若，则发散；【对】10. 若，则收敛；【对】11. 设，收敛，则收敛；【错】12. 设，和收敛，则收敛；【对】1.2 幂级数收敛半径收敛域【幂级数概念】一般形式幂函数级数： 中心点：收敛域 收敛点的集合。一定是关于的对称区间收敛区间收敛域内的最大开区间,为收敛半径收敛类型在开区间内绝对收敛；在端点可能发散，条件收敛或绝对收敛。收敛半径计算法 基本法：看作数项级数判定绝对收敛范围 （比值法）公式法：如果级数不缺项，则 【收敛半径的性质】若的收敛半径为，且的收敛半径为，且则 的收敛半径不小于 的收敛半径为 的收敛半径为 ，的收敛半径为例1求幂级数的收敛域。解1 分项处理看作与的和级数。分别求收敛域，都是，交集还是。端点发散，通项不趋于0。解2 公式法例2 求幂级数的收敛域。解 换元处理令，求得的收敛域为 ，回代得 例3 缺项幂级数-换元法，理解公式中系数的含义 求幂级数的收敛域。例4 求幂级数的收敛域-例5 设级数的收敛半径为2。求级数的收敛区间。注意：（1）收敛半径经过积分或求导后不变，收敛端点经过求导后可能会变成发散。（2）条件收敛只能在端点发生，幂级数在收敛区间内是绝对收敛 练习 级数在x=1处条件收敛，则的收敛区间为1.3 幂级数展开与求和A知识概述1）【展开定理】 当在附近有无限阶导数时，它在的幂级数为 ，等式成立的范围是使得的区间A，B，这里A，B。2）【基本展开式】（在展开，注意写出展开区间） 间接法得出的展开式 3）【基本求和公式】 4）【幂级数的分析性质】在收敛区间内，分别与 可交换顺序： B题型归类 【题型1】【间接法求幂级数展开式】【题型1】【原点展式：间接展开】 （1） （2）（3）031展开 为的幂级数，并求数项级数的和。解 讨论收敛区间端点，在连续，级数在收敛,故展开公式在该端点成立；于是，取得出在点,由于不连续，故展开式不能扩充。（4） （5）展开为x的幂级数，并求级数的和。【题型2】【其他点展式：间接展开法】- 在处求的展开式= 在处展开对数函数 -端点敛散性需要讨论.（3）在x=1处展开函数（4）在处展开函数【题型2】【间接法求幂级数的和函数】方法两种：分项，方程-分项求解 分拆系数：， 单独求得.分项求解 041方程求解因为满足 故，且或者