2. 3.2抛物线的简单几何性质教学设计一、学习目标：1 掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2. 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物 线图形；3. 在对抛物线几何 性质的讨论中，注意数与形的结合与转化二、学情分析：学生已经学习了椭圆与双曲线的方程及性质，对圆锥曲线的学习已经形成了较好的模式。所以，学习完抛物线及其方程之后，本节课对学生而言不会有太多难点。三、教学内容分析：本节课的学习重点是抛物线的几何性质及其运用，本节课的学习难点是抛物线几何性质的运用四、教学环节与活动（一）复习引入：（学生回顾并填表格）1. 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线 I叫做抛物线的准线.2. 抛物线的标准方程：图 形kyLy卜厶(F、*:方 程2y2 px( p 0)y2 2px(p0)2x 2py(p 0)2x2py(p 0)-焦占八、（知）2(卫,o)2（o,专2(0,勺准线xQ2x卫2y卫2y扌相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直，垂足与1焦点在对称轴上关于原点对称”它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的丄，即42p P42 .不同点：（1）图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为2px、左端2 2为y ;图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为 2py，左端为x . （ 2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在 x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号； 开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在 x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号.（二）讲解新课：类似研究双曲线的性质的过程，我们以y2 2px p 0为例来研究一下抛物线的简单几何性质:1. 范围2因为p 0,由方程y 2px p 0可知，这条抛物线上的点 M的坐标（x , y）满足不等 式x 0，所以这条抛物线在 y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸.2. 对称性2以y代y，方程y 2px p 0不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的 轴.3. 顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y22 px p 0中，当y=0时,x=0 , 因此抛物线y2 2px p 0的顶点就是坐标原点.4. 离心率抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示.由抛物线的定义可知，e=1.对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过对照完成下表）标准方程图形顶点对称轴焦占八、八、准线离心率y2 2pxp 0卜0,0x轴x上2e 1y22pxp 00,0x轴卫,02x卫2e 12小x 2pyp 00,0y轴0卫2y ie 1x2 2py p 00,0y轴01y 1e 1注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离 思考：抛 物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）(三) 例题讲解：例1已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点， 并且经过点M(2, 2.2)，求它的 标准方程，并用描点法画出图形.分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p.解：由题意，可设抛物线方程为y2 2px，因为它过点 M(2, 2.2),所以(2.2)2 2p 2，即 p 2因此，所求的抛物线方程为 y2 4x .将已知方程变形为 y 2 x，根据y 2、x计算抛物线在x 0的范围内几个点的坐标， 得x0i234y022.83.54描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分，点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线.例2斜率为i的直线经过抛物线 y2-4x的焦点，与抛物线交于两点A、B,求线段AB的长解法I:如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F (I, 0),准线方程X- I.由题可知，直线 AB的方程为y-x I代入抛物线方程y2-4x，整理得：x26x+仁0J丄解上述方程得 Xi-3+2 . 2 ,x2-3 2 2n分别代入直线方程得 yi -2+2 2 ,y2-2 2 . 211即A、B的坐标分别为(3+2应,2+2运),(322 , 222 )|AB|= (3 2 2 3 2、2)2 2(2 2 2 2 2 2)2648解法 2:设 A(xi,yi)、B(x2,y2)，贝V xi+X2=6,xi x2=1 |AB|= . 2 |xi x2|.2 . (x1 x2)2 4x1 x2-2，62 4 8解法3:设A (xi,yi)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，AF|等于点A到准线x= i的距离|AA即 |AF|=|AA |=xi+i同理 |BF|=|BB |=X2+I|AB|=|AF|+|BF|=xi+x2+2=8点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法 3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。变式训练：过抛物线y 4x2的焦点F作直线,交抛物线于 P(X|,y)Q(x2, y2)两点，若 y1 y 6，求 PQ。解: x21 14y，2p 4,pPQPFQF PR QQi点评：由以上例c 1 J6 6 。8 82以及变式训练可总结出焦点弦弦长:y1pR |orABXiX2p或aby1y2#(四) 达标练习：1 .过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A X1 , y1, B X2, y2 两点，如果x1x26，那么| AB|=(A) 10(B) 8(C)(D) 42 .已知M为抛物线y24x上一动点，为抛物线的焦点，定点P 3, 1，则|MP | |MF |的最小值为(A) 3(B) 4(C)(D) 63 过抛物线y2 4x焦点F的直线l它交于B两点，则弦 AB的中点的轨迹方程是4.定长为3的线段AB的端点A、 B在抛物线X上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时 AB中点M的坐标.参考答案：1. B 2. B 3. y22 x 14. M“到y轴距离的最小值为彳(五) 小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等(六) 课后作业：1 根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图.(1) 顶点在原点，对称轴是 x轴，顶点到焦点的距离等于 &(2) 顶点在原点，焦点在 y轴上，且过 P (4, 2)点.(3) 顶点在原点，焦点在 y轴上，其上点P ( m 3)到焦点距离为5.2 过抛物线焦点 F的直线与抛物线交于 A B两点，若 A B在准线上的射影是 A、则 Z AFB等于.3. 抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16,求抛物线方程.24以椭圆L y21的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆5在准线所得的弦长.5. 有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？五、教学资源PPT课件，学案六、 教学评价：本节课通过多媒体课件的运用，灵活展示图像的变化特点， 学生认知获得了充分体验，教学效果很好。