F平面向量F1平面向量的概念及其线性运算4H1、F12012上海卷 若d(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为_(结果用反三角函数值表示)4arctan解析 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出直线的斜率由已知可得直线的斜率k，ktan，所以直线的倾斜角arctan.20H5、F1、H12012陕西卷 已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程20解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2得x，y，将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.F2平面向量基本定理及向量坐标运算13F2、F32012湖北卷 已知向量a(1,0)，b(1,1)，则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量b3a与向量a夹角的余弦值为_13答案 (1)(2)解析 (1)由题意，2ab(3,1)，所以与2ab同向的单位向量的坐标为，即.(2)因为a(1,0)，b(1,1)，所以b3a(2,1)设向量b3a与向量a的夹角为，则cos.3F22012广东卷 若向量(1,2)，(3,4)，则()A(4,6) B(4，6)C(2，2) D(2,2)3A解析 因为(1,2)(3,4)(4,6)所以选择A.9F22012全国卷 ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC.ab D.ab9D解析 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a和b作为基底去表示向量.易知ab，|AB|，用等面积法求得|CD|，AD，AB，(ab)，故选D.7F2、C62012陕西卷 设向量a(1，cos)与b(1,2cos)垂直，则cos2等于()A. B. C0 D17C解析 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有12cos20，则cos22cos210.故选C.6F2、F32012重庆卷 设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A. B.C2 D106B解析 因为ab，所以ab0，即x11(2)0，解得x2，所以ab(3，1)，|ab|，选B.F3平面向量的数量积及应用12F32012上海卷 在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_121,4解析 令n(0n1)，则(1n)，在矩形ABCD中，n，(1n)，所以(n)(1n)(1n)2n243n，而函数f(n)43n在0,1上是单调递减的，其值域为1,4，所以的取值范围是1,41F32012辽宁卷 已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A1 BC. D11D解析 本小题主要考查向量数量积的坐标运算解题的突破口为正确运用数量积的坐标运算公式因为ab(1，1)(2，x)121x1x1，所以答案选D.15F32012课标全国卷 已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.15答案 3解析 因为|2ab|，平方得4a24abb210，得44|b|b|210，解得|b|3.12F32012江西卷 设单位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，则|x2y|_.12.解析 设c(1,2) ，则cb，cm.| m |1，|mc|c|.21H5、H8、F32012重庆卷 如图，设椭圆的中点为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求PB2Q的面积21解：(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因AB1B2是直角三角形且|AB1|AB2|，故B1AB2为直角，从而|OA|OB2|，即b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2，由题设条件SAB1B24得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为：1.(2)由(1)知B1(2,0)、B2(2,0)由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为：xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2.又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，知0，即16m2640，解得m2.当m2时，方程(*)化为：9y28y160，故y1，y2，|y1y2|，PB2Q的面积S|B1B2|y1y2|.当m2时，同理可得(或由对称性可得)PB2Q的面积S.综上所述，PB2Q的面积为.9F32012江苏卷 如图13，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_图139.解析 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F的位置以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则(，0)设(x,2)，则由条件得x，得x1，从而F(1,2)，(，1)，(1，2)，于是.15F32012湖南卷 如图15，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则_.图151518解析 本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用已知向量来表示(2)222|18.易错点 本题易错一：找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；易错二：不会转化，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了在向量上的射影等于|.13F2、F32012湖北卷 已知向量a(1,0)，b(1,1)，则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量b3a与向量a夹角的余弦值为_13答案 (1)(2)解析 (1)由题意，2ab(3,1)，所以与2ab同向的单位向量的坐标为，即.(2)因为a(1,0)，b(1,1)，所以b3a(2,1)设向量b3a与向量a的夹角为，则cos.10F32012广东卷 对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab()A. B. C1 D.10D解析 根据新定义得：ab(nZ)，(1)ba(mZ)，(2)以上两式相乘得：cos2(n，mZ)，cos2，即，所以0mn2，又因为n，mZ，所以mn1，所以ab.所以选择D.11F32012安徽卷 设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)，若(ac)b，则|a|_.11.解析 因为ac(3,3m)，又b(m1,1)，(ac)b, 所以(ac)b0，即(3,3m)(m1,1)6m30，解得m，则a(1，1)故|a|.13F32012北京卷 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_，的最大值为_1311解析 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识法一：投影法：设向量，的夹角为，则|cos，由图可知，|cos|，所以原式等于|21，要使最大只要使向量在向量上的投影达到最大即可，因为在向量上的投影达到最大为|1，所以()max|21；法二：因为且，所以()|21，()|，所以要使最大，只要|最大即可，明显随着E点在AB边上移动|max1，故()max1.法三：以D为坐标原点，与所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x,1)，0x1，所以(x,1)，(0,1)，可得x0111.因为(1,0)，所以x，因为1x0，所以()max1.3A2、F32012福建卷 已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx03D解析 因为ab，所以ab0，即(x1)2210，解得x0.8F32012天津卷 在ABC中，A90，AB1，AC2，设点P，Q满足，(1)，R.若2，则()A. B.C. D28B解析 (