课 时 授 课 计 划 副 页 年 月 日教学过程及授课内容附 注4-1 不定积分的概念教学过程一、不定积分的概念1原函数的概念定义1 设是定义在某区间的已知函数，若存在函数，使得 或,则称为的一个原函数例 因为，故是的一个原函数；因为，所以是的一个原函数，但，所以的原函数不是惟一的原函数说明：第一，原函数的存在问题：如果在某区间连续，那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结论：定理：若是的一个原函数，则是的全部原函数，其中为任意常数。证 由于，又，所以函数族中的每一个都是的原函数。另一方面,设是的任一个原函数，即，则可证与之间只相差一个常数，事实上，因为所以，或者，这就是说的任一个原函数均可表示成的形式。这样就证明了的全体原函数刚好组成函数族。2.不定积分的概念定义2：函数的全体原函数叫做的不定积分，定积分，记为，其中,上式中的叫做积分变量，叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分常数，“”叫做积分号。例1 求下列不定积分：（1）；（2）；（3）解 （1）因为，所以. （2）因为，所以.（3）因为时，又时，所以例2设曲线过点（1，2）且斜率为，求曲线方程解 设所求曲线方程为按，故又因为曲线过点（1，2），故代入上式，得，于是所求方程为.例3 设某物体运动速度为，且当时，求运动规律解 按题意有，即，再将条件时代入得，故所求运动规律为 积分运算与微分运算之间的互逆关系：（1）或（2）或二、基本积分公式由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式： (1)(为常数)， (2)（），(3)，(4)，(5) ，(6)，(7)，(8)（9)，(10)，(11)，(12)，(13).三、不定积分的性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分（）.性质2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分 的代数和，即.例4 求下列不定积分：（1）(2)；(3) 解 （）.（）.（） 例5 求下列不定积分:（）；（）解（1）（）例 6 求下列不定积分：(1)； (2)解 (1) =(2)例7 设求解 由于，所以，故知是的原函数，得.四、小结1.不定积分的概念和基本积分公式2. 不定积分的性质 第 5 页