等号左边是函数，右边是关于a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时, y随x的增大而减小；x h时，y有最 小值k .向下X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时, y随x的增大而增大；x h时，y有最 大值k .自变量x的次式，x的最第二十二单元 二次函数一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c ( a, b, c是常数，高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系 数，b是一次项系数，c是常数项. 二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式y a x h 2 ka 0)的函数，叫做二次函数。的性质:这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数y ax2 bx c的结构特征：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2 k ,确定其顶点坐标h, k ；保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下：2 .平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：y ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移m个单位，y ax2 bx c 变成y ax2 bx c m (或y ax2 bx cm)y ax2 bx c沿轴平移：向左(右)平移m个单位，y ax2 bx c 变成y a(x m)2 b(x m) c (或y a(x m)2 b(x m) c)四、二次函数y a x h 2 k与y ax2 bx c的比较从解析式上看，y ax h2 k与 y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,22即ya x 2a嗜，其中b , 4ac b2,k 2a 4a五、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c 化为顶点式y a(x h)2 k ,确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两 侧，左右对称地描点画图.一般我们选 取的五点为：顶点、与 y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点2h , c、与x轴的交点 ” , 0 , x2, 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴又称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与y轴的交 与八、.六、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x ,顶点坐标为 2ab 4ac b21 2a 4a当x 2时，y随x的增大而 2a减小；当x 2时，y随x的2a增大而增大；当x 期时，y2a2有最小值4ac b .4a2 .当a 0时，抛物线开口向下,对称轴为xA,顶点坐标为2a2b 4ac b52a 4a.当x葛时，y随x的增大而增大；当x 上时，y随x 2a的增大而减小；当x 上时，y有2a最大值竺土K .4a七、二次函数解析式的表示方法1 . *般式：y ax2 bx c （ a , b , c为常数，a 0）;2 .顶点式：y a（x h）2 k （ a, h, k为常数，a 0）；3 .两根式：y a（x x（x x2） （a 0, %, x2是抛物线与x轴两交 点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但 并非所有的二次函数都可以 写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 4ac 0时， 抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式 的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数 之间的关系1.二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然a 0. a决定了 决定开口方向，a的大小决定开口 的大小.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提 下，b决定了抛物线的对称轴.ab的符号的判定：对称轴x 2在y轴左边则ab 0,在y 2a轴的右侧则ab 0,概括的说就是 “左同右异”3 .常数项cc决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这 条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解 析式，通常利用待定系数法.用待 定系数法求二次函数的解析式必须 根据题目的特点，选择适当的形式， 才能使解题简便.一般来说，有如 下几种情况：抛物线开口的大小和方向，a的正负般选用一般式;1 .已知抛物线上三点的坐标，2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系(二次函 数与x轴交点情况)：一兀二次方程ax2 bx c 0是二次函数 y ax2 bx c当函数值 y 0时的特殊情 况.图象与x轴的交点个数：当 b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点 A x1, 0 , B x2, 0 (% x2),其中的xI , x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离AB % X 号产.当 0a时，图象与x轴只有一个交点； 当 0 时，图象与x轴没有交点.1当a 0时， 图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ; 2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0.22 .抛物线y ax bx c的图象与y轴一 定相交，交点坐标为 (0 , c);3 .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交 点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c 中 a , b , c 的符号， 或由二次函数中a, b, c的符号 判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对 称，可利用这一性质，求和已知 一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性 求出另一个交点坐标.第一单元二次根式1、二次根式式子J(a 0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号厂”；被开方数a必须是非负数。2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因 数是整数，因式是整式；被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式，这样 的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方 法和步骤：(1)如果被开方数是分数(包括 小数)或分式，先利用商的算数平方 根的性质把它写成分式的形式，然后 利用分母有理化进行化简。(2)如果被开方数是整数或整 式，先将他们分解因数或因式，然后 把能开得尽方的因数或因式开出来。3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二 次根式叫做同类二次根式。4、二次根式的性质(1) (.a)2 a(a 0)(2) , a2 a(3) ab .a?,b(a 0,b 0)bl亲0)5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的 运算顺序一样，先乘方，再乘除，最 后加减，有括号的先算括号里的(或 先去括号)。第二单元一元二次方程一、一元二次方程1、一兀二次方程含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。2、一元二次方程的一般形式ax2 bx c 0(a 0),它的特征 是：等式左边十一个关于未知数 x的 二次多项式，等式右边是零，其中ax2 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫 做常数项。二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求 一元二次方程的解的方法叫做直接开 平方法。直接开平方法适用于解形如(x a)2 b的一元二次方程。根据平 方根的定义可知，x a是b的平方根， 当 b 0 时，x a%/b , x a Jb ,当b0时，方程没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学方法， 它不仅在解一元二次方程上有所应 用，而且在数学的其他领域也有着广 泛的应用。配方法的理论根据是完全 平方公式a2 2ab b2 (a b)2,把公 式中的a看做未知数x,并用x代替， 则有 x2 2bx b2 (x b)2。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次 方程的解的方法，它是解一元二次方 程的一般方法。一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0( a 0)的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的 手段，求出方程的解的方法，这种方 法简单易行，是解一元二次方程最常 用的方法。三、一元二次方程根的判别式根的判别式一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0)中，b2 4ac 叫 做一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac当。时，一元二次方程有2个不 相等的实数根；当二。时，一元二次方程有2个相 同的实数根；当0时，一元二次方程没有实数 根四、一元二次方程根与系数的关系如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是整，x2 ,那么 x1 x20，x1x2 - o也就是说，aa对于任何一个有实数根的一元二次方 程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数； 两根之积等于常数项除以二次项系数 所得的商。第三单元旋转一、旋转1 、定义把一个图形绕某一点 O转动一个 角度的图形变换叫做旋转，其中。叫 做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质(1)对应点到旋转中心的距离相 等。(2)对应点与旋转中心所连线段 的夹角等于旋转角。二、中心对称1 、定义把一个图形绕着某一个点旋转 180 ,如果旋转后的图形能够和原来 的图形互相重合，那么这个图形叫做 中心对称图形，这个点就是它的对称 中心。2、性质(1)关于中心对称的两个图形是 全等形。(2)关于中心对称的两个图形， 对称点连线都经过对称中心，并且被 对称中心平分。(3)关于中心对称的两个图形， 对应线段平行(或在同一直线上)且 相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经 过某一点，并且被这一点平分，那么 这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转 180 ,如果旋转后的图形能够和原来 的图形互相重合，那么这个图形叫做 中心对称图形，这个店就是它的对称 中心。考点五、坐标系中对称点的特征(3分)1 、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐 标的符号相反，即点P (x, y)关于原 点的对称点为P (-x, -y)2、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐 标中，x相等，y