常微分方程导学常微分方程导学各位学员好！欢迎进入常微分方程导学。这里将介绍本课程内容，纲要和学习要求，提供相应的学习引导、学习方法以及资料讯息。一、 课程基本介绍 常微分方程是中央广播电视大学开放教育数学与应用数学专业本科的一门必修课程。本课程3学分，54学时，第三学期开设。常微分方程针对中央广播电视大学数学与应用数学专业师范类的学生。微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，微分方程理论是和微积分同时成长起来的，是各种精确自然学科学中表述基本规律和各种问题的根本工具之一，通过微分方程能进一步更好地解决生产实际和工程技术中的问题。近些年来，常微分方程的研究与应用已经深入到自然科学和社会科学的众多领域，得到了广泛的应用和发展。通过本课程的学习，使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力，为其它后继课，如微分几何、数学物理方程和泛函分析初步等课程的学习做好必要的准备。学习本课程，学生应具备微积分和高等代数的基础知识。作为中央电大的统开课，本课程使用的教材为潘家齐主编的常微分方程（中央广播电视大学出版社出版）。内容有初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。前四部分为主要学习内容，后一部分定性理论简介作进一步的学习了解。相关的教学资料、大纲及学习要求指导可查阅中央电大开放教育网站（http:/www.open.edu.cn）和云南电大在线（http:/www. yntvu.edu.cn点击云南电大在线）。在云南电大在线开设的本课程网页，本导学及所提供的作业解答将提供基本把握引导。二、 教学的学习要求及课程进程安排表 教学要求中，尤其复习巩固时，对有关定义、定理、性质、特征等概念的要求，分知道、了解、理解三个层次；有关计算、解法、公式、法则等方法的要求，分会、掌握、熟练掌握三个层次。3学分54学时课程表：章号内容课内学时电视学时IP学时备注1初等积分法1457 2基本定理934 3线性微分方程组935 4线性微分方程1457 5定性理论简介824 合 计541827 三、 学习环节与考核由潘家齐主编的常微分方程教材内附学习指导由中央电大的顾静相编写。若学员要广览博阅，则各大高校如复旦大学、吉林大学、南京大学的常微分方程 教材皆可参阅。 本课程中央电大已编制了28学时的IP课件供学生在网上学习，其中23学时是讲授本课程的基本内容，5学时是习题课，帮助学生复习各章基本概念和解题方法。IP课程在中央电大开放教育网站。但一般计算机电话线上网传收效果不行、须宽带网运行。学员应充分利用各种教学资源勤学、自学，结合面授助学、自觉认真完成作业。独立完成作业是学好本课程的重要手段。掌握本课程的解方程理论和方法，必须通过作业练习来加深理解和巩固，从而达到消化、掌握、运用所学知识的目的。平时作业的完成是计入课程的最终考核成绩的每学期学生必须完成4次课程作业，作业本已由中央电大印制。中央电大和省市电大将对规定的作业的完成情况进行检查。任课教师必须认真批阅学生作业，并根据作业完成的情况对作业进行评分，给出平时作业成绩并计入学生期末总成绩。作业评分标准学生必须按规定时间交作业，态度认真，字迹工整，解答题有解答过程。每次作业成绩按百分制计算，具体评分标准如下： 完成全部作业内容且正确率达到80%以上，得分80100； 未完成全部作业内容，但完成全部作业内容的60%以上正确率达到已做部分的80%以上，得分6079； 未完成全部作业内容，但完成部分占全部作业内容的60%以下，得分059； 抄袭作业按0分计算； 不按时交作业按0分计算。 平时作业最终成绩按平均值确定。 考试 本课程的期末考试全国统一命题，统一评分标准，统一考试时间。 学生本课程的成绩由期末考试成绩和平时作业成绩两部分组成，其中期末考试成绩占80，平时作业成绩占20。四、 教学内容与要求一、初等积分法 (14学时)(一)教学内容微分方程与解：常微分方程与解的概念。变量可分离方程：变量分离方程解法。齐次方程：齐次方程解法。一阶线性方程：常数变易法，贝努利方程解法。全微分方程及积分因子：全微分方程解法。一阶隐式微分方程：隐式方程的参数解法。一阶微分方程应用举例：列方程的一般方法。几种可降阶的高阶方程：高阶方程降阶法。重点：五种基本初等积分法-变量分离方程解法，常数变易法，全微分方程解法，参数法，降阶法。难点：判断方程类型采用正确解法求解。(二)教学基本要求1.了解常微分方程与解的概念，掌握方程类型的判别。2.熟练掌握初等积分法中的变量分离方程解法、常数变易法和全微分方程解法（含积分因子的解法），掌握参数法和降阶法。3.会把实际问题抽象为常微分方程的方法。二、基本定理 (9学时)(一)教学内容解的存在与唯一性定理：存在唯一性定理。解的延展：解延展的概念及定理，饱和解的性状，比较定理。奇解与包络：奇解定义，奇解的包络线求法。解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖性定义和定理。重点：解的存在与唯一性定理，解的延展定理。难点：解的存在与唯一性定理的证明。(二)教学基本要求1.理解解的存在与唯一性定理的证明，理解解的延展定理的证明。2.了解解对初值的连续依赖性定理及其证明。3.了解奇解定义，掌握奇解的包络线求法。4.掌握利用解的存在与唯一性定理、解的延展定理证明有关方程解的某些性质的基本方法。三、线性微分方程组 (9学时)(一)教学内容一阶微分方程组：一阶微分方程组有关定义，解的存在唯一性定理。线性微分方程组的一般概念：线性微分方程组的解的存在唯一性定理的特性。线性齐次方程组的一般理论：线性齐次微分方程组解的性质，解空间的结构，刘维尔公式。线性非齐次方程组的一般理论：线性非齐次微分方程组通解结构，常数变易法。常系数线性微分方程组的解法：常系数线性微分方程组的待定指数函数解法。重点：线性微分方程组解的结构，常系数线性微分方程组的解法。难点：常系数线性微分方程组的重特征根情况。(二)教学基本要求1.了解线性微分方程组的有关概念，解的存在唯一性定理及证明。2.理解线性微分方程组解的结构，通解基本定理，掌握常数变易法和刘维尔公式。3.熟练掌握常系数线性微分方程组的解法（单特征根情形）。 四、线性微分方程 (14学时)(一)教学内容n阶线性微分方程的一般理论：n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，刘维尔公式。n阶常系数线性齐次方程解法：待定指数函数解法，单特征根和重特征根情形。n阶常系数线性非齐方程解法：常数变易法，待定系数法。二阶常系数线性方程与振动现象：二阶常系数线性方程在振动方程中的应用。幂级数解法简介：幂级数解定理及其应用。重点：n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，n阶常系数线性方程的解法。难点：线性非齐次微分方程解的特解的求法。(二)教学基本要求1.了解n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，理解n阶线性微分方程解的结构，通解基本定理，常数变易法和刘维尔公式。2.熟练掌握n阶常系数线性方程的待定指数函数解法，待定系数法。3.许多实际问题可以归结为二阶线性微分方程，学会其分析问题的步骤及解题方法。4.知道幂级数解定理及其应用。五、定性理论简介（8学时）(一)教学内容基本概念：相空间和相轨线。李雅普诺夫第二方法：稳定性、渐近稳定性定义和定理。平面自治系统的定性方法：奇点，极限环，环域定理及其应用。重点：平面自治系统的奇点分析。难点：稳定性有关定理的证明。(二)教学基本要求1.理解稳定性有关定义及定理的证明，掌握奇点的分类方法。2.了解环域定理，知道平面定性理论的研究目的。3.知道简单的李雅普诺夫函数的构造方法。五、以往试题中央广播电视大学2002-2003学年度第一学期期末考试数学与应用数学专业2002（春）级第三学期常微分方程试题2003年7月题号一二三四五总分得分得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1方程的任一解的最大存在区间必定是 2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间 4方程的所有常数解是 5方程的基本解组是 得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分 7. 方程的任一非零解在平面上（ ）与轴横截相交 （A）可以 （B）不可以 （C）只能在处可以 （D）只能在处可以 8方程（ ）奇解（A）有一个 （B）有无数个 （C）只有两个 （D）无 9方程过点的解，这个解的存在区间是（ ） （A） （B） （C） （D） 10向量函数组在区间I上线性相关的（ ）条件是在区间I上它们的朗斯基行列式 （A）充分 （B）充分必要 （C）必要非充分 （D）必要得分 评卷人 三、计算题（每小题分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 12. 13. 14 15 得分 评卷人 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16求方程的通解 17求下列方程组的通解 得分 评卷人 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18设在区间上连续试证明方程 的所有解的存在区间必为 19在方程中，已知在上连续试证明：若存在使方程的两个解，同在处取极值，则，不能是方程的基本解组中央广播电视大学2002-2003学年度第一学期期末考试数学与应用数学2002（春）级第三学期常微分方程试题答案及评分标准