3 层 次 分 析 模 型一 引 言 人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的及花的、白的、方格的之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或去饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或者去山水甲天下的桂林如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业，或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能地作出满意的决策了 从事各种职业的人也经常面对决策：一个厂长要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策 人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择(当然要根据客观实际)会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难TLSaaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简记AHP)，这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。二 层次分析法的基本步骤 1几个步骤 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的不妨用假期旅游为例，假如有， 3个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较那3个候选地点首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如景色最好，次之；费用最低，次之；居住等条件较好等等最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在，中确定哪个作为最佳地点。 上面的思维过程可以加工整理成以下几个步骤：（1）将决策问题分解为3个层次，最上层为目标层，即选择旅游地，最下层为方案层，有，3个供选择地点，中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，各层间的联系用相连的直线表示(图1)（2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法（3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重在层次分析法中要给出进行综合的计算方法 层次分析法将定性分析与定量计算结合起来完成上述步骤，给出决策结果下面我们来说明如何比较同一层各因素对上层因素的影响(或在其中的重要性)，从而确定它们在上层因素中占的权重2成对比较矩阵和权向量 涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于，这些因素通常不易定量地量测人们凭自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受Saaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度假设要比较某一层，2个因素C1，C2，Cn对上层一个因素O的影响，如旅游决策问题中比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性每次取两个因素Ci和CI，用表示Ci和CI对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵表示由于(1)式给出的的特点，A称为正互反矩阵显然必有=1如用C1，C5依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，设某人用成对比较法(做次对比)得到的成对比较阵(正互反阵)为(2)中=1/2表示景色C1与费用C2对选择旅游地这个目标O的重要性之比为12； =4表示景色C1与居住条件C3之比为41；=7表示费用C2与居住条件C3之比为71可以看出此人在选择旅游地时，费用因素最重，景色次之，居住条件再次怎样由成对比较阵确定诸因素C1，Cn对上层因素O的权重呢? 仔细分析一下(2)式给出的成对比较阵A可以发现，既然C1与C2之比为12，C1与C3之比为41，那么C2与C3之比应为81而不是71，才能说明成对比较是一致的。但是，n个因素要作次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了Saaty等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素Cl，Cn对因素O的权重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围，为了说明这点我们先看成对比较完全一致的情况设想把一块单位重量的大石头O砸成n块小石头Cl，Cn，如果精确地称出它们的重量为，在作成对比较时令=，那么得到这些比较显然是一致的n块小石头对大石头的权重(即在大石头中的重量比)可用向量表示，且=1显然，A的各个列向量与w仅相差一个比例因子 一般地，如果一个正互反阵A满足 则A称为一致性矩阵，简称一致阵(3)式给出的A显然是一致阵容易证明，2阶一致阵A有下列性质(习题1) （1）A的秩为l，A的惟一非零特征根为n； （2）A的任一列向量都是对应于特征根，2的特征向量如果得到的成对比较阵是一致阵，像(3)式的A，自然应取对应于特征根n的、归一化的特征向量(即分量之和为1)表示诸因素C1，Cn对上层因素O的权重，这个向量称为权向量如果成对比较阵A不是一致阵，但在不一致的容许范围内(下面将说明如何确定这个范围)，Saaty等人建议用对应于A最大特征根(记作丸)的特征向量(归一化后)作为权向量w，即w满足直观地看，因为矩阵A的特征根和特征向雩连续地依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时，A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大(5)式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法求和w的简便算法和特征根法更深入的意义，以及其它求权向量的方法见本节第三小节3比较尺度 当比较两个可能具有不同性质的因素Ci和CI对于一个上层因素O的影响，采用什么样的相对尺度较好呢？Saaty等人提出用1-9尺度，即 的取值范围是1，2，9及其互反数1，1/2，1/9 在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级，用1-9尺度可以方便地表示如下 目前在层次分析法的应用中，大多数人都用l-9尺度，(2)式中的A就是这个尺度关于不同尺度的讨论也一直存在着 4一致性检验 成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根又的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内怎样确定这个范围呢? 前面已经给出n阶一致阵的特征根是n，在本节第三小节将证明的一个重要定理表明，I阶正互反阵A的最大特征根n，而当=n时A是一致阵根据这个定理和连续地依赖于的事实可知，比n大得越多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大因而可以用n 数值的大小来衡量A的不一黎程度Saaty将定义为一致性指标CI=0时A为一致阵；CI越大A的不一致程度越严重注意到A的n个特征根之和恰好等于n(为什么?)，所以CI相当于除外其余n-1个特征根的平均值 为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的标准Saaty又引入所谓随机一致性指标RI，计算RI的过程是：对于固定的n，随机地构造正互反阵A，(它的元素（ij）从19，l19中随机取值)，然后计算A，的一致性指标CI可以想到，是非常不一致的，它的CI相当大如此构造相当多的，用它们的CI的平均值作为随机一致性指标Saaty对于不同的n，用100-500个样本算出的随机一致性指标RI的数值如下*表中n=l，2时RI=0，是因为1，2阶的正互反阵总是一致阵 对于，23的成对比较阵A，将它的一致性指标CI与同阶(指n相同)的随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR，当时认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量(7)式中0.1的选取是带有一定主观信度的 对于A利用(6)，(7)式和表2进行检验称为一致性检验当检验不通过时， 要重新进行成对比较，或对已有的A进行修正 对于(2)式给出的A可以算出*， =5.073，归一化的特征向量w= (0.263，0.475，0.055，0.099，0.110)T由(6)式，在表2中查出RI=1.12按(7)式计算，CR=0.018-0.0160.1，一致性检验通过，上述w可作为权向量5组合权向量 在旅游决策问题中我们已经得到了第2层(准则层)对第1层 (目标层，只有一个因素)的权向量，记作 (即由(2)式的A算出的w)用同样的方法构造第3层(方案层，见图1)对第2层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为 这里矩阵(k=1，5)中的元素是方案(旅游地)与对于准则 (景色、费用等)的优越性的比较尺度 由第3层的成对比较阵计算出权向量，最大特征根和一致性指标，结果列入下表不难看出，由于n=3时随机一致性指标RI=0.58(表2)，所以上面的CI是均可通过一致性检验下面的问题是由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量(k=1，5)，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作对于方案，它在景色等5个准则中-的权重用的第1个分量表示(表3中的第1行)，而5个准则对于目标的权重又用权向量表示，所以方案在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即同样可以算出P2，P3在目标中的组合权重为0.246和0.456，于是组合权向量=(0.300，0.246，0.456)T结果表明方案P3在旅游地选择中占的权重近于1/2，远大于，P2，应作为第l选择地点由上述计算可知，对于3个层次的决策问题，若第1层只有1个因素，第2，3层分别有n，m个因素，记第2，3层对第1，2层的权向量分别为 以为列向量构成矩阵则第3层对第l层的组合权向量为更一般地，若共有5层，则第是层对第l层(设只有1个因素)的组合权向量满足其中W(k)是以第是层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵于是最下层 (第5层)对最上层的组合权向量为 6组合一致性检验 在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据组合一致性检验可逐层进行若第户层的一致性指标为， (n是第p-1层因素的数目)，随机一致性指标为，定义则第p层的组合一致性比率为第p层通过组合一致性检验的条件为CR(p)0.1定义最下层(第5层)对第l层的组合一致性比率为对于重大项目，仅当CR*适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验 在旅游决策问题中可以算出CI(3)=0.00176，RI(3)=0.58，CR(3)=0.003前面已经有CR(2)=0.016，于是CR*=0.019，组合一致性检验通过，前面得到的组合权向量可以作为最终决策的依据 7层次分析法的基本步骤 （1）建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到