第3章 线性系统中的高阶累积量与高阶谱SISO单入单出系统3.1 输入为高斯白噪声情况分析设是方差为的高斯白噪声，附加噪声是方差为的高斯白噪声，且与统计独立。为系统输出。和分别表示相关函数和功率谱。则 (3.1) (3.2) (3.3)系统函数证： 1 2 功率谱是相位盲，不含有相位信息。3 3.2 输入为非高斯iid噪声情况分析设为非高斯iid信号，其阶累积量 (3.4)附加噪声为高斯（白）有色噪声。则： (3.5) (3.6) (3.7)证： (3.8)其中： 则 其中3.3 输入为非高斯有色噪声设：是非高斯有色噪声，是高斯有色噪声，均为平稳过程。则： 多维卷积公式 (3.9)其中 多维相关函数 (3.10) (3.11) (3.12) (3.13)证：利用前面证明过程，即(3.8式)。令：，则由于是平稳的，且设，则上式中设：，上式 3.4 多输入多输出情况分析准备知识：Kronecker矩阵乘积。定义：用表示Kronecker矩阵乘积。矩阵与矩阵的Kronecker乘积，是矩阵，即 (3.14) (3.15)Kronecker乘积的性质：（1） (3.16)（2） (3.17)（3） (3.18)（4） (3.19)（5） (3.20)（6） (3.21)（7） (3.22)（8） (3.23)3.4.1 矢量的高阶累积量设是一个维矢量 (3.24)研究方法：1. (3.25)设其中 (3.26)2. 互累积量(Cross Culmulant) 三阶互累积量 (3.27)3. 元素矢量（ element vecter ）说明：设是元素矢量其中是矢量的维数，是阶累积量，矩阵中有个元素。常常用 表示中第个元素。例：设二维二阶累积量阵。阵。元素：个的第个元素；1的第个元素；2的第个元素；3的第个元素；4又例：， (3.28)元素随机矢量元素矢量定义：设表示维矢量的元素矢量（累积量）。用（其中）表示元素矢量的第个元素。矢量过程 (3.29)用表示第个元素， 用元素矢量的优点：(1) 使运算简单(2) 用kroneck积分Swami和Mendel证明，元素非平稳过程的阶累积量公式如： (3.30) (3.31) (3.32)其中，是变换矩阵阵的元素为1，其余为零。，累积量的六个性质，可直接引入维矢量中！设是常数阵。是元素矢量。则：(3.33)证；设，用表示的第元素。则的第元素为 (3.34)取(3.33)式右端的第个元素。 (3.35)由于(3.34) 式与(3.35)式相同，故3.4.2 MIMO系统（多输入多输出系统）设：矢量是系统输出，系统单位冲击响应(IR)为，是输入矢量。则 (3.36)若与相互独立则 (3.37)其中是一元素矢量。（维数）若绝对可和，则(3.38)与数量情形(3.5)式一致：说明：设系统是线性时不变系统设 10