6.6 不等式的应用知识梳理1.运用不等式求一些最值问题.用a+b2求最小值；用ab（）2求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题.点击双基1.已知函数f（x）=log（x2ax+3a）在2，+）上是减函数，则实数a的范围是A.（，4B.（4，4C.（0，12）D.（0，4解析：f（x）=log（x2ax+3a）在2，+）上是减函数，u=x2ax+3a在2，+）上为增函数，且在2，+）上恒大于0.4a4.答案：B2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A. cm2B.4 cm 2C.3 cm2D.2 cm2解析：设两段长分别为x cm，（12x） cm，则S=（）2+（）2=（x212x+72）=（x6）2+362.答案：D3.（理）如果0a1，0xy1，且logaxlogay=1，那么xyA.无最大值也无最小值B.有最大值无最小值C.无最大值有最小值D.有最大值也有最小值解析：logax+logay2=2，logaxy2.0xya2.答案：B（文）已知abc0，若P=，Q=，则A.PQB.PQC.PQD.PQ解析：特殊值检验.a=3，b=2，c=1.P=，Q=1，PQ.答案：D4.已知实数x、y满足=xy，则x的取值范围是_.解析：由=xy，得y2xy+x=0.yR，=x24x0.0x4.x=0时y=0不符合题意，0x4.答案：0x45.已知不等式组的解集是不等式2x29x+a0的解集的子集，则实数a的取值范围是_.解析：由得2x3.则a9.答案：（，9典例剖析【例1】 函数y=的最大值为4，最小值为1，求常数a、b的值.剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R，故可用判别式法求最值.解：由y=去分母整理得yx22ax+yb=0.对于，有实根的条件是0，即（2a）24y（yb）0.y2bya20.又1y4，y2bya2=0的两根为1和4.解得或评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展已知x、yR+且+=1，求x+y的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.由本题的启发，你能解下列问题吗？已知a、b是正常数，a+b=10，又x、yR+，且+=1，x+y的最小值为18.求a、b的值.略解：x+y=（x+y）（）=10+10+2=18.当且仅当时取等号.由解得当x=6，y=12时，x+y的最小值为18.同上题，x+y=（x+y）（+）=a+b+a+b+2.由得或【例2】 已知a0，求函数y=的最小值.解：y=+，当0a1时，y=+2，当且仅当x=时取等号，ymin=2.当a1时，令t=（t）.y=f（t）=t+.（t）=10.f（t）在，+）上为增函数.yf（）=，等号当t=即x=0时成立，ymin=.综上，0a1时，ymin=2；a1时，ymin=.【例3】 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a0且bc0）.（1）若| f（0）|=| f（1）|=| f（1）|=1，试求f（x）的解析式；（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0l2，试确定cb的符号.解：（1）由已知| f（1）|=| f（1）|，有|a+b+c|=|ab+c|，（a+b+c）2=（ab+c）2，可得4b（a+c）=0.bc0，b0.a+c=0.又由a0有c0.|c|=1，于是c=1，则a=1，|b|=1.f（x）=x2x1.（2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b0.设方程f（x）=0的两根为x1、x2.x1+x2=2，x1x2=.则|x1x2|=.由已知0|x1x2|2，01.又a0，bc0，c0.cb0.闯关训练夯实基础1.已知方程sin2x4sinx+1a=0有解，则实数a的取值范围是A.3，6B.2，6C.3，2D.2，2解析：a=（sinx2）23，|sinx|1，2a6.答案：B2.当x1，2时，不等式ax22x1恒成立，则实数a的取值范围是A.a2B.a1C.a0D.a2解析：当x1，2时，x22x1=（x1）222，2.ax22x1恒成立，a2.答案：A3.b g糖水中有a g糖（ba0），若再添m g糖（m0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式_.解析：.答案：4.若a0，b0，ab1+a+b，则a+b的最小值为_.解析：1+a+bab（）2，（a+b）24（a+b）40.a+b或a+b.a0，b0，a+b2+2.答案：2+25.已知正数x、y满足x+2y=1，求+的最小值.解：x、y为正数，且x+2y=1，+=（x+2y）（+）=3+3+2，当且仅当=，即当x=1，y=1时等号成立.+的最小值为3+2.6.（2004年春季上海）已知实数p满足不等式0，试判断方程z22z+5p2=0有无实根，并给出证明.解：由0，解得2x.2p.方程z22z+5p2=0的判别式=4（p24）.2p，p24，0.由此得方程z22z+5p2=0无实根.培养能力7.（2003年全国）已知c0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x2c|1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.解：函数y=cx在R上单调递减0c1.不等式x+|x2c|1的解集为R函数y=x+|x2c|在R上恒大于1.x+|x2c|=函数y=x+|x2c|在R上的最小值为2c.不等式x+|x2c|1的解集为R2c1c.如果P正确，且Q不正确，则0c.如果P不正确，且Q正确，则c1.c的取值范围为（0，1，+）.8.已知函数f（x）=x2+bx+c（b、cR）且当x1时，f（x）0，当1x3时，f（x）0恒成立.（1）求b、c之间的关系式；（2）当c3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）m2x在区间（0，+）上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知f（1）0与f（1）0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0.（2）假设存在实数m，使满足题设的g（x）存在.g（x）=f（x）m2x=x2+（bm2）x+c开口向上，且在，+）上单调递增，0.bm20.c3，b=（c+1）4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在.探究创新9.有点难度哟！已知ab0，求a2+的最小值.解：b（ab）（）2=，a2+a2+16.当且仅当，即时取等号.深化拓展ab0，求b（ab）的最大值.提示：b（ab）. 答案：4思悟小结1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤：（1）审题，必要时画出示意图；（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y2中，x和y要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.教师下载中心教学点睛1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.3.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.拓展例题【例1】 （2003年福建质量检测题）已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且mn，f（m）=f（n）.求证：（1）m+n0；（2）f（m2）f（m+n）f（n2）.（1）证法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=log2（n+1），log2（m+1）=log2（n+1），或log2（m+1）=log2.由得m+1=n+1，与mn矛盾，舍去.由得m+1=，即（m+1）（n+1）=1.m+11n+1.m0n.mn0.由得mn+m+n=0，m+n=mn0.证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.0m+1n+1，=1.m+n+22.m+n0.（2）证明：当x0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+）上为增函数.由（1）知m2（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m0，m+n0，m（m+n）0.m2（m+n）0，0m2m+n.f（m2）f（m+n）.同理，（m+n）n2=mnn2=n（m+n）0，0m+nn2.f（m+n）f（n2）.f（m2）f（m+n）f（n2）.【例2】 求证：对任意x、yR，都有53y+y2，并说明等号何时成立.证明：72x+4927x7=27x+1，.又53y+y2=（y3）2+，53y+y2.当且仅当x=1，y=3时取等号.