梯度功能材料的中二维波传播的数值模拟阿卡迪班若维斯凯 吉瑞安格尔布瑞科特 吉安卯金摘 要 梯度功能材料中压力波的传播是通过复合波传播的运算法则来进行数值研究的。研究了两中不同的梯度功能材料的模型：（i）每层具有均匀性质的多层金属-陶瓷复合材料；（ii）在规定容量的小部分金属基中随机嵌入陶瓷颗粒。通过数值模拟证明：梯度功能材料模拟的运算法则无须任何均化程序就已经适用了。基于数值模拟的分析表明：不同模型的压力性质有显著的差异，而这些模型可以用于对结构及冲击载荷做出最优化的反应。关键词：梯度功能材料，波传播，数值模拟，冲击载荷1 引言梯度功能材料因其多功能性质而被广泛用于当代科技。由于遭受准静态载荷而在梯度功能材料内产生应力和位移的变化，对这一现象的分析与计算表明：在两种不相似的层间使用梯度界面并使其结构和几何状态最优化能有效地减小应力。动态载荷处的能量吸收应用具有特别的意义，界面效应对于这一情形当然也很重要。梯度功能材料中一维波传播已经在1999及2000年被人们探讨过。梯度金属陶瓷薄的冲击效应已经在2001年被人们在2001年讨论过。在这些研究中，梯度功能材料近似于多层媒介，并且每层材料的性质假设为常数或沿着层变化的一次或二次方程。这样做的主要困难时无法准确估计材料性质随着成分颗粒的体积容量变化而变化的方程。然而，梯度功能材料的特点不仅在于其间出现了混合物或其他成分，还在于它较传统材料（宏观均匀）具有复杂的行为。最简单的例子就是，梯度功能材料的结构能够通过在以某种材料为基而以另外一种材料作为嵌入物的类似于模型的系统来表示。在这篇文章中，我们所关注的是在层以及梯度的金属陶瓷结构的二维的波传播的分析。作为例子，我们用到了已经在2001年被验证的涉及盔甲运用的结构。然而，相较结构的最优化而言，我们更感兴趣的是对梯度功能材料的描述。因此，我们仅限于研究不具有任何粘塑效应的弹性波的传播。接下来，我们将对两种不同的梯度功能材料进行计算：（i）在层内性质均匀的多层金属陶瓷复合材料（ii）在规定容量的小部分金属基中随机嵌入陶瓷颗粒。这篇文章的主要目的是对比时间演化（波的传播和与界面的相互作用）以及这两种模型的成分并证明对冲击力应用的梯度的选择的意义。需要注意的是，具有不同物理尺寸规模的结构中，波行为也可能不同。我们所关注的是在一个平面加载一个动态的载荷，而在这个平面上，应力脉冲的波长是与平面厚度相当的。这意味着波长远大于包含物的尺寸，而且波传播的距离相对要小。另外，对于加强材料中最快的波速，所加应力脉冲的上升时间比增强方向的比例要大很多。2 问题简述我们所考虑的问题是一个厚度为h长度为L（Lh）的平面的冲击载荷问题。在长度为a（ah）平面上表面的中心区域横向加载载荷。平面的材料假设为沿厚度方向成分呈现梯度。梯度用陶瓷增强金属基体相内的体积分数来描述。我们随2001的研究之后，引入了该问题的三个时间尺度，如方程（1）所示，其中表示最快纵波的速度，tr表示外加载荷最短的上升时间。由于Lh，t0tb，因此，该板块的横向边界实际上并非如计算中所示的那样。正如2001年研究所示的那样，如果单是体积分数参数被用来描述层次，那么必然有trdr/，其中dr表示加强维。3 非均匀弹性材料的控制方程 假设金属及陶瓷材料均为线性各向同性弹性介质。在这个前提下，这一问题的控制方程可以用压力和速度以一种很简单的方式表示，见公式（2）（3），其中t表示时间，xj表示空间坐标，vi表示速度矢量的分量，ij 为应力张量，为密度，和为拉梅系数，为克罗内克函数。在x点明确指示的依赖意味着受体在材料方面一般不均匀，也就是说，梯度材料的性质是通过（x），（x），（x）来表示的。方程（2）（3）所描述的系统是一个适合于数值模拟的符合双曲守恒律的系统。我们将用材料性质的分布来数值地解这个方程体系，而材料性质是与各层分布均匀的多层金属陶瓷材料以及以上述体积比随机在金属基中嵌入陶瓷颗粒所形成的模型有关。 假设这一平面在t0是静止的，方程（2）（3）描述的系统当处于一下的初始状态（4）一定可以被解出。平面的上表面承受来自方程（5）所给的应力脉冲。上表面的其他部分以及下表面不承受应力，侧界面假设被锁定。4 材料性质 为了计算梯度功能材料中整体的应变/应力分布，我们需要对梯度层得性质有个适当的估计，比如杨氏模量、泊松比等等。有关梯度功能材料的性质已经有很多文章发表了。这些研究中，大多数运用的都是平均法，这比较简单也很方便，它们被用来预测整体的形变反应以及性质。然而，由于假设的简单化，用于实际梯度功能材料的简单模型的有效性是受相关详细的微观结构和其他状况的影响的。不过，平均法仍将被有选择性地用于梯度功能材料（这些材料承受一致或者非一致的整体载荷），因为这种方法还是具有一定的合理性的。正如在引言中提到的一样，我们的主要目的是对比两种不同的梯度功能材料模型：（i）在层内性质均匀的多层金属陶瓷复合材料（ii）在规定容量的小部分金属基中随机嵌入陶瓷颗粒。为了达成这一目的，运用混合物的线性规则来处理多层模型梯度层的杨氏模量和泊松比就可以了，而这些模型是针对在各层内性质均匀的金属台词复合材料。根据混合物的线性规则，对于任何材料性质的最简单的估计方法，在双相金属陶瓷材料的x点的性质P(x)可以用体积分数Vm和Vc以及金属材料和陶瓷成分材料性质的Pm和Pc的线性组合来估算。对于在金属基中随机嵌入陶瓷颗粒的复合材料的模型，所运用的是不经过任何平均的相同的材料性质。5 数值算法我们需要注意的是，存在许多中算法，他们均可用于双曲方程系统的求解。但是，通常假设解是平滑的，这样才能在标准的有限差分法中获得近似衍生物。然而，这些近似物在材料参数方面不是近间断有效的。因此，如果参数在网格尺寸级别急剧变化的话，标准方法常常彻底失效。相比较而言，人们发现新近发展起来的波传播算法较适于波在快速变化的异质媒介中传播的模拟。该算法结合了多层面的高解析度波的传播。特别限制器功能是用来减少近间断虚假振荡。结果在1997年得到了冲击的清晰分辨率，而该冲击是随着二阶精度得到顺利解决方案。 一种改进的复合波的传播方案（执行几个二阶的兰科斯-万德若夫型步骤后执行一个杜诺夫步骤）已成功应用于媒体迅速变的二维热弹性波的传播。这里也用到了这种传播方案。我们相信这种方法是用于研究各种梯度功能材料的有力工具。6 计算结果6.1 一维的情况首先我们考虑在一维情况下的应力波得传播。这一简化是为了类比由舍美丽和潘世庴于2000年讨论过的问题，他们已经展示了由层振幅引起的波得衰减，而在层内则形成了微观损伤的积累。他们的模型是以内部变量为基础的。而微观结构是用一个标量场来描述的，而标量场取决于缺陷密度，并影响能量函数。它在控制方程的结果占一定的额外非平衡压力。在我们的计算中，功能梯度材料层是一个放置在无量纲计算域0,1000的区间300,700（参见图2（a），3（a）。层得机械性能是以下的其中一种：从Al2O3陶瓷向Ni金属呈光滑转变（图2（a）并且变化是以高斯分布的形式；以相同的高斯分布随机嵌入颗粒而形成的混合物（图3（a）。金属和陶瓷的性质如下：杨氏模量为199.5GPa和393GPa，泊松比为0.3和0.25，而密度为8900kg/m3和3970 m3。计算结果见图2（b）和3（b）。显然在振幅与层得相互作用之后，我们得到一个预期的透射波下降。应该指出的是，仅在性能差异显著的材料中，才能观察到以上这种显著的下降。如果我们通过随机粒子来嵌入层来模拟非均质模型的话，这种效应能够更清楚地表现出来（图3（b）。另外，由于层内的随机分布，反射波便显出某种不规律性（在零线处作微小波动），而这可被用来探测层得性质。通过比较内部变量形式的结果与直接计算获得的结果，我们可以确定用于模拟内部变量的标量场模型的性质。6.2 二维的情况现在我们回到在第二部分指定的二维平面应变问题。我们研究四种形式的陶瓷颗粒加强体积分数变化，而这些变化是沿厚度方向的，而在多层材料中，各层材料内部性质是均匀的：一致的，分层的，分级为两种不同的体积分数分布的f=vc（图4），这里金属基和陶瓷加强材料的弹性性质如下：杨氏模量分别为70GPa和420GPa，泊松比分别为0.3和0.17，而密度分别为2800kg/m3 和3100kg/m3。这些结构已经在轴对称情况下被人们验证为A,B,C,D。同时，相同的结构可以由随机嵌入相关体积比来表示（图5）。在两种模型中都用到了相同的算法来用于应力波传播的数值模拟。在计算中，我们在厚度方向用了98中元素，这样加强维可以长达250m。用于加载的上升时间tr选为0.75s。这样满足trdr/cf，因为根据2001年的数据，最快的纵波的速度为11877m/s。表示充分位移场等高线图的典型例子如图6所示。对相同的梯度功能材料的不同模型，他们处于相同的情况下进行计算：L=49mm，h=24.5mm，a=12.25mm，0 = 125 MPa。尽管粒子体积分数在两种模型中的分布情况类似，我们依然能够很清楚地看到应力波传播速度的不同。此外，我们已经获得了波前的对称形状的畸变，而这些波前属于由于随机颗粒分布引起的随机嵌入颗粒的模型。例如，属于装甲应用的，用于分层或分级结构的一个有意思的话题已经在2001年被描述如下：分层或者应力最大值以及他们分布层次的影响是什么？为了优化相对于处于动态加载条件下的完整性，这很重要。为了回答制定的问题，让我们考虑沿板的中心线正应力分布，而在这一位置希望有最的预期应力值。621 中心线应力分布层内性质均匀的多层模型，沿着其中心线，其正常的应力分布如图7所示。由于结果是在同一时间给出的，正常的应力分布位置的区别刻画了每个结构中应力波速度的差异，而他们完全与每个结构中陶瓷颗粒体积分数相一致（对于一致分布为0.360，对于分层的情况为0.226，对于高f前为0.475，对于低f前为0.120）。显然，交替分层（情况（b）是由于振幅以及透射波相对于均质的情况（a）的减少而造成的。对于分层情况，拉应力有了极大的提高。连续梯度造成如下情况（见图7）。在高f和低f前分级（情况（c）和情况（d）之间最大振幅没有大的差别，但是他们之间的速度却又很大的差别。这一效果源于相应陶瓷加强部分的材料性质。由于结构所造成的分层材料内部的大的拉应力描述了这样一种情况，那就是：为了在动态加载条件下提供更好的结构完整性所作出的排斥反应。对于随机嵌入颗粒的模型，这一情形稍微有所改善（见图8）。这样的话，不同结构中应力波传播的速度就会变得更小，但是他们振幅的区别却变得更大。在c情况中，由于有高比例的陶瓷加强材料掺入，纵波的速度在所有计算情况中都保持最高的值。而拉应力的振幅，尤其对于一致的情况和低f前梯度情况（即情况（e）和（h），却大大的减小了。这样看来，似乎后一种结构，即情况（h），是阻碍挤压和拉伸应力的最佳选择。而这一结果在各层性质均匀的多层材料中却没那么明显。7 结束语对于梯度功能材料动态行为的理论预测取决于他们的性质在计算环境中被模仿的相似度。尽管许多梯度功能材料性质的均质模型被广泛接受，但是在过去，有一个更加合理的模型（在一个基中随机嵌入颗粒）却从来都没有被用过，那是因为在介质性能迅速变化的情况进行数值计算式比较困难的。这一困难在1997年通过用波传播算法和作相应修正而得到克服。在复合波传播算法中，通过解决每个离散元素之间界面的黎曼问题，每个参数的不连续性都考虑了进来。对于所研究的非均匀介质，每个界面处波得反射和传输都得到了自动处理。这篇文章中，我们用到了复合波传播算法，用它们来比较通过平均材料性质而获得的离散层模型以及在一个金属基中随机嵌入陶瓷颗粒的模型。尽管在两种情况下整体波前图（图6）看起来相似，但是对于