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高中复习知识梳理之八平面向量一、重点知识(一)基本概念:向量的有关概念有:向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量(共线向量)、数乘向量;基线、单位向量、基向量、基底、正交基底: ;向量在轴上的正射影、向量在轴方向上的数量: ;向量的模(或向量的长度): ;(二)向量的基本运算:1. 向量的线性运算:加法、减法及数乘向量的综合运算: (1)向量求和的三角形法则: ; (2)向量求和的平行四边形法则: ; (3)向量求和的多边形法则: ; (4)向量减法法则: ;结论 在中(加)或(减)称为向量三角形;推广可有,称为封闭折线(5)数乘向量的定义:实数和向量的乘积是一个向量,记作 ;其长为 ;其方向为: ;数乘向量的几何意义是: ;向量加法满足下列运算律:(1)加法交换律: ;(2)加法结合律: ;数乘向量满足下列运算律:(1) (2) (3) 。如:在平行四边形ABCD中,已知,试用表示 .如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,则的值为2. 向量共线的条件:结论2 (平行向量基本定理)向量与平行(即共线)的充要条件是存在唯一实数使特别地,三点共线3. 轴上向量的坐标及其运算:已知轴,取单位向量,对于轴上任意向量总是存在唯一实数x使得,我们称x为向量在轴上的坐标(或数量)。设是轴的一个基向量,向量的坐标为AB,则;若轴为x轴,可设点A、B的坐标分别为x1,x2,则向量的坐标AB=。4. 向量的分解:结论3(平面向量基本定理) 设是平面上两个不共线向量(称为一组基底),则对平面上任一向量,存在唯一实数使这里 称为向量关于基底 的分解式。特别地若,则有称为定比分点向量式,也称为直线AB的向量参数方程式;称为中点向量式(为中点)上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法,如:证明三角形的三条中线交于一点,且这点把三条中线都分成的两条线段。求证三条高相交于一点5.平面向量的坐标运算:对于结论3,若是一组单位正交基底,则称是向量在基底下的坐标,记作。(在平面直角坐标系下)用坐标表示下列结论:设,则有: ; ; ; ;6.向量的数量积:结论4 两个向量的数量积为,其中为两个向量的夹角,其范围为 数量积有如下性质: ;是点到直线(甚至到平面)距离公式推导的根据; 夹角公式 ;(坐标形式) 即 (用于求模); ;(坐标形式) (某些不等式放缩证明的根据)数量积的运算律:(1)交换律: ;(2)数乘律: ;(3)分配律: 。(请给出证明)注意:不满足消去律:推不出结论,举例: 。如:已知平面上直线l的方向向量=(-),点O(0,0)和点A(1, -2)在l上的射影分别为和,且,其中=( )A B- C 2 D-2模公式的应用举例:(1)求证: ,其几何意义是 。(2)若,则 (3)已知,则与的夹角为 (4)已知中每两个向量夹角都为且,求值.7. 直线的方向向量 ,法向量 ,若再已知定点,而且点,是单位法向量,则点P到直线的距离公式为: 。(向量形式)8. 结论: ,称为向量三角形不等式(三)三角形的“四心”与向量1. 关于重心G,有重心公式:坐标,并有性质;2. 关于垂心H,有性质;3. 关于外心O,有性质;结论:O、H、G三点共线且;此线称为欧拉()线。(如何证明?)4. 关于内心I,经常涉及内角平分线的研究,如。 如: 已知O,N,P在所在平面内,且,且,则点O,N,P依次是的 (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心在四边形ABCD中,=(1,1),则四边形ABCD的面积是 设斜的外接圆圆心为,两条边上的高的交点为,则实数= 。 O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过的( )A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心(四)向量与解析几何在解析几何中,熟练掌握下列结论,有助于更好地运用向量:(1)A、B、C三点共线等价于存在实数,使得();(2)的重心G的坐标公式为(3)直线的方向向量是什么? 给定两点:,那么,这也就是方向向量,横坐标单位化,得:,也就是说:直线的方向向量是,直线的法向量是例如:已知为坐标原点,点的坐标分别为,点运动时,满足,(1)求动点的轨迹的方程 (2)设、是轨迹上的两点,若,求直线的方程体验练习题一:一、选择题1已知平面向量a= ,b=, 则向量( )A平行于轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于轴 D平行于第二、四象限的角平分线 2一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为( )( A 6 B 2 C D 3设P是ABC所在平面内的一点,则()A B C D4设向量,满足:,以,的模为边长构成三角形,则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) . A B C D5已知,向量与垂直,则实数的值为( ) (A) (B) (C) (D)6 8在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点若,则( )ABCD7 3已知平面向量,且/,则( )A、 B、 C、 D、8 5已知平面向量,与垂直,则是( )A 1 B 1 C 2 D 29 4若向量满足,与的夹角为,则( ) A B C D210已知平面向量,则向量( ) 11在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是( )(A) (B) (C) (D) 12已知向量,若与垂直,则( )A B C D4二、填空题1若平面向量,满足,平行于轴,则 2已知向量和向量的夹角为,则向量和向量的数量积= 3已知向量和的夹角为,则 4已知向量,且,则= 5设O、A、B、C为平面上四个点,且,则_6在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点若,则_(用表示)7. 设向量,(1)若与垂直,求值;(2)求的最大值;(3)若,求证:.8已知向量和,且求的值.体验练习题二:一、选择题:1若向量a =(1,2),b =(1,-3),则向量a与b的夹角等于( ) A B C D 2在平面直角坐标系中作矩形,已知,则的值为( )A 0 B 7 C 25 D3向量,的夹角为120,2,则()等于( )A B 2 C D 64已知向量,|1,对任意实数t,恒有|t|,则( )A B() C() D()()5已知,向量与垂直,则实数的值为() (A) (B) (C) (D)6已知向量,如果,那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向7已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么( ) A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向二填空题:8已知向量若向量,则实数的值是 ; 9设O为坐标原点,向量 将绕着点 按逆时针方向旋转 得到向量 , 则的坐标为_10设集合平面向量,定义在上的映射,满足对任意x,均有(x) =x(R且)若a= b 且a、b不共线,则( a) (b)(a+b)=_;若,且,则_11若把函数的图象按向量平移,得到函数的图象,则向量的坐标为 12设向量则的最大值为 _13已知向量,如果,那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向14已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么( )
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