小学数学“常见数量关系与问题解决”的教学研究与案例评析 在数学学习中，问题解决不仅能够帮助学生巩固、拓展所学的知识和技能，而且也有利于发展学生的实践能力、激发学生的探究和创新精神。从 1949 年以来，我国大陆地区的小学数学课程一直把小学算术应用题的教学放在重要位置上。但在 20 世纪中叶以后，小学数学应用题教学发生了重大变化。1980 年，美国提出“问题解决（ problem solving ）”的教学模式。要求将纯粹数学和应用数学的问题统一起来，形成统一的“问题解决”教学模式，认为解决非常规的数学问题，培育创新精神，是数学教育的主要追求，应贯穿到数学教育的每一个环节中。这种趋势影响了各国的数学教学，问题解决已被看做数学学习活动的核心。在 2001 年我国制定数学课程标准（实验稿）中，为了使培养学生解决问题能力落到实处，单独设立了解决问题这一目标维度，应用题不再成为独立的教学内容，解决问题的要求被贯穿在四个基本的内容领域中。在数学课程标准（ 2011 版）中这个做法得到延续，并更加明晰。 一、一些基本的观点 1. 问题与数学问题 根据心理学大辞典，问题是指“在给定状态与目标状态之间存在某些障碍，需要加以克服的任务情境”。数学问题是指对人具有智力挑战特征的、没有现成方法、程序或算法可以解决的情境，或者说数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情境状态。数学问题有三个特别显著的特点：一是障碍性，二是可接受性，三是探究性。 2 问题解决、应用题、应用问题 (1) 问题解决 数学问题一般分为两类，一类是常规的，即背景简单、条件明确、答案唯一、解决常见的问题，习题和考试中多半是这类题目。另一类是非常规的问题，这类问题设置的情景相对比较复杂、条件隐含、答案开放，没有现成的解法可以套用，常称为“具有挑战性”的问题。 而对于什么是问题解决，到现在没有统一的解释。但是无论如何问题解决从什么角度去理解，有一个观点比较一致：所谓“问题解决”，专指解决“非常贵问题”。目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。 （ 2 ）问题解决与应用题 问题解决不等于应用题。问题解决和应用题的区别如下：问题解决是学习的开始，不是单纯的应用；问题解决强调与现实紧密联系，有开放性；问题解决的形式：提出问题、体验、建构、形成创新意识；问题解决有交流和反思的空间。而解应用题的学习的终点，应用题人为编造的痕迹较为明显，是封闭的；应用题的教学形式：找类型，记结语，套公式，形成“条件反射”；“条件 + 体型 = 问题答案”构成了应用题的因素，学生在解题过程中无需反思或较少反思。 （ 3 ）问题解决与应用问题 基于“问题解决”与“应用题”之间的“鸿沟”，有学者提出了“应用问题”的提法。与“问题解决”相比， 问题解决中的“问题”是更具有实际意义的问题，它与学生的实际生活密切相关，往往需要考虑现实生活中的诸多因素，具有综合性、开放性的特点。而应用问题中的“问题”，尽管提倡要符合学生实际，并力求具有一定的开放性，但总体上来说，问题已经经过了一定的简化，背景相对简单，其中蕴含的数量关系也往往是学生所熟悉的。因此学生所做的工作主要是分析出其中的数量关系，并联系所学的知识和方法加以解决。 3 问题解决模式 （ 1 ）波利亚数学问题解决四阶段模式 早在 1957 年，著名的数学教学家波利亚对数学问题解决的过程做了较为具体的分析和描述，他的研究构成了 20 世纪 80 年代以来数学问题解决研究的基础。波利亚把数学问题解决划分为如下四个阶段： 阶段一：理解问题。你在寻找什么？在该问题中有哪些信息已经给出？画出一个示意图。 阶段二：制定计划。你知道类似的问题吗？你知道一个更容易的问题吗？你能重新表述该问题吗？尝试解决一个相关的问题，尝试解决问题的一部分。 阶段三：执行计划。执行解决的计划，检查每一步骤，你能够证明每一步都是正确的吗？ 阶段四：回顾解答。检查算式和结果，你能用不同的方法得出答案吗？你能把这一结果用到另一个问题的解决上吗？ （ 2 ）新加坡小学数学问题解决四阶段模式 2000 年新加坡修订的小学数学教学大纲附录中给出了问题解决的基本模式，要求小学数学教师参照这一模式来实施问题解决的教学。该模式包含的问题解决的步骤是： 理解问题。包括：找出给出的信息；具体化这些信息；组织这些信息；连接这些信息。 设计计划（选择策略）。包括：描述、表达出它；运用图表和模型；做个系统的表格；寻找模式；退一步考虑；运用前后概念；猜测和检验；做个假设；换一种方式重述问题；简化问题；解决问题的一部分。 实施计划。包括：运用计算技能；运用几何技能；运用逻辑推理。 反思。包括：检验解答；改进所用方法；探寻其他方法；扩展该方法到其他问题上。 （ 3 ）现代认知心理学中的问题解决模式 在现代认知心理学中，问题解决一直是一个异常活跃的研究领域，研究者提出的问题解决模式也层出不穷。概括起来，可以把数学问题解决相关的模式归纳为五个子过程： 发现问题觉知问题的存在，其心理实质是察觉现有的状态与欲想的状态之间存在的差异。 界定和表征问题确定地界定问题的性质、分析解决问题需要的条件以及已有条件、明确问题解决的最终目标等。 确定问题解决方案包括选择解题方法，确定具体的解题步骤这两个基本过程。 执行解题方案将前面制定的解题策略与计划付诸实施，使问题达到目标状态。 评价问题解决的结果主动对自己求解的过程和结果进行检验与评价，判断解题过程是否合理、结果是否正确。 4. 数学课程标准（ 2011 版）中的问题解决 无论是 2001 年出版的数学课程标准（实验稿），还是数学课程标准（ 2011 版）中，都将问题解决作为贯穿我国数学课程的一条主线。 （ 1 ）问题解决是理念 在标准中，将解决问题不仅仅看成是课程内容，更是一种贯穿始终的理念，鼓励学生体验从实际背景中抽象出数学问题构建数学模型求解模型解释、应用和拓展的分析问题和解决问题的过程。 （ 2 ）问题解决是目标 数学课程标准（ 2011 版）中过程与方法目标分成：数学思考、问题解决。其中关于问题解决目标的具体描述如下： 初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。 学会与他人合作交流 初步形成评价与反思的意识。 其中，创新意识和实践能力在数学课程标准的其他目标部分并没有出现，只是在问题解决的部分里出现。 （ 3 ）问题解决是要求 数学课程标准中提到的“经历、体验、探索、尝试、表示、解释、反思”等动词，都伴随着问题解决，问题解决应渗透在每一个知识领域，渗透在数学教学的全过程中。 二、“问题解决”的教育价值 小学数学教学应该把培养学生解决问题能力作为重要任务，重视解决问题的价值。 1. 解决问题能力是学生数学素养的重要标志 PISA（经合组织进行的国际学生评价计划）对数学素养的解释是：“在当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的知识，并理解数学在自然、社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。数学素养包括若干运用数学能力的水平层次，从标准数学运算到数学思维能力和观察能力。它也要求学生理解和应用一定范围内的数学知识，例如：概率、变化率、增长率、空间与形状、定量推理、不定性和从属关系等。这些包括数学课程的特定范围，比如：算数、代数和几何。”在 PISA 设计的八个方面的数学素养中，至少有三个方面与解决问题能力有直接的关系。（ 1 ）数学思考。（ 2 ）建立模型。（ 3 ）提出问题和解决问题的技能。 2. 解决问题意识的提高使学生更能体会数学的价值 学生会从分析问题和解决问题的过程中，体会数学在现实中的应用，了解自己身边的数学问题，进而指导、理解和掌握数学知识能力的作用。有人把数学意识称之为“用数学家的眼光看世界”。别人可能根本不会注意到的东西，在他看来确实饶有趣味的数学。在别人看来并不是数学背景的事情，他们可以从中看出数学问题，并用数学的思考认识和分析这样的问题。数学教育的一个重要功能就在于培养学生的数学意识，是学生学会用数学的眼光看世界。 3. 促进对数学基本知识的理解和掌握 数学课程标准规定的数学学习的四个领域，尤其是前三个领域，对于具体的知识技能，每个领域有特定的学习内容，各自的目标与任务。但通过各个领域的学习，其在培养学生解决问题的意识与能力、培养学生的情感与态度等方面是一致的。在学习各个内容领域的过程中应当把问题解决当做重要的任务，同时，问题解决能力的提高也会促进学生对各个领域内容的理解和掌握。 4 解决问题是发展学生的创新意识和实践能力的重要途径 数学问题的解决往往都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现。因此解决数学问题的过程又是一个创新的过程。这一过程促使学生寻求新的途径和方法，它不仅可以使学生获得初步的创新能力，而且可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。 三、“应用问题”中常见的数量关系分析 对数量关系的分析，指向于教材中的“应用问题”。 1. 基本的数量关系 （ 1 ）四则运算： 加法：加数加数和 和一个加数另一个加数 减法：被减数减数差 被减数差减数 差减数被减数 乘法：因数 因数积 积 一个因数另一个因数 除法：被除数 除数商 被除数 商除数 商 除数被除数 （ 2 ）运算定律： 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c (a b) c a (b c) (a c)+b 乘法交换律 ab ba 乘法结合律 abc (ab)c a(bc) (ac)b 乘法分配律 a(b c) ab ac （ 3 ）基本性质： 减法的运算性质： a b c a (b c) 除法的运算性质： abc a(bc) 商不变的性质： ab (ax)(bx) (ax)(bx)(x0) 分数的基本性质： 比的基本性质： a:b (ax):(bx) (ax):(bx)(x0) 比例的基本性质：因为 a:b c:d 所以 ad bc 我国常规应用题的教学中，成绩一直都很好。但课程和教学往往集中在为了教学而教学上，在提出问题、发展问题、灵活地处理应用性问题上，比起欧美诸国的教学，还有很多不足。 2. 类型问题中的数量关系 除了一些基本的数量关系蕴含在数学学习的各部分内容之中，原来我们还惯常按照问题情境将问题分类开展教学，并进行专门的训练，强化这些类型问题的解题方法。但原来的课程和教学整体上较窄、较难、较偏。 以下是原有的课程中曾经出现过的数量关系：价格问题、行程问题、工程问题、利息问题、利润问题、折扣问题、百分数问题、产量问题、比例尺问题、分数问题。当然，有的教材还出现过植树、流水、盈亏、合倍、差倍、浓度、追及、平均数等问题类型。 就上面列出的数量关系来看，其实有很多本质上是相同的。在数学课程标准（ 2011 版）修订过程中，明确了小学需要学习的两个基本数量关系：一个是物理模型中的“路程、时间和速度”关系；一个是经济模型中的“总价、数量和单价”关系。这两个关系不仅仅在生活中有着广泛地应用，同时也是学生进一步学习（如学习微积分）的两个重要的基本模型。 四