递推数列常见类型及解法（江西省黎川第一中学 李霓 344600 ）一、形如an+1=an+f(n)的递推式：利用叠加法，将an=an-1+f(n-1), an-1=an-2+f(n-2)a2=a1+f(1)各式相加得，an=a1+ (n2)例如：（2003年高考题）已知数列an满足a1=1,且an=3n-1+an-1(n2),求a2, a3证明an=解： 略 法一：可用数学归纳法证明（略） 法二：叠加法，由条件变形得anan1=3n-1 （n2） a2a1 =3 a3a2 = 32 a4a3 =33 相加ana1=3+32+3n-1 an= = : : anan-1=3n-1 二、形如an+1=f(n)an的递推式：利用迭代法（或叠乘法）将an= f(n-1) an-1, an-1= f(n-2) an-2,a2=f(1)a1各式代入（或相乘）得an=a1f(1)f(2)f(3)f(n-1)例如：已知数列 an满足a1=1, an+1= an，求数列an的通项公式。解：（法一）：迭代法 an+1=an an= an-1 = an-2 = a1 = a1n = n（法二）叠乘法 an+1= an 即= = = 相乘= an=na1= n: = 三、形如an+1=p an+ q (p、q为非零且p1的常数)的递推式法一：待定系数法配凑为an+1 = p (an )格式整理得：an+1= pan+ (1-p) 确定= an+1 = pan+ q 从而 an+1 =p (an ) 数列 an是首项为a1 ,公比为q的等比数列，故an = (a1)p n-1 + 例如：数列an中，b1=3，bn=2bn-1 +1 (n2)，求数列bn的通项公式。解： bn =2bn-1+ 1( n2)转化为bn+1= 2(bn-1+1) (n2) bn+1是一个以b1+1为首项以2为公比的等比数列。 bn+1=(b1+1)2n-1 = 2 n-1 bn= 2n+1 1法二：阶差法：an+1 = pan+q 相减an+1an = p(anan-1)(n2)再通过通项换元引入一个an = pan -1 +q 辅助数列，将问题转化为基本数列等差或等比数列问题。例如： 已知数列an, a1=, an+1 = 2an 1 求其通项公式解：an+1= 2an 1 相减an+2 an+1= 2(an+1an)an+2 = 2an+11令bn=an+1 an( n=1,2,3) ，则b1= a2a1 = 2= bn+1= 2bn 数列bn是一个以为首项，2为公比的等比数列an =a1+( a2 a1)+ (a3 a2) + = a1 +b1+b2 +bn-1= += 2n-2+1四、形如an+1= pan +f(n)（p0,且p1的常数）的递推式：法一：将上式两边同除以pn+1得 = +令bn= 则bn+1= bn+ 由此转为第一类型递推式可求bn,继而进一步求an例如：已知数列an满足a1=9， an+1= 3an+ 63n两端除以3n+1，得=2，则是一个以=3为首项，以2为公差的等差数列=3+2（n1）=2n+1an=3n (2n+1)法二：待定系数法确定m次多项式g(n)，使an+g(n)=pan-1 +g(n-1)于是an+g(n)=a1+g(1)pn-1例如：已知a1=1，an= an-1 +n2 15(n2)，求an解：引入待定系数a,b,c,使an+ (an2+bn+c)= an-1+a(n-1)2+b(n-1)+c，整理后有an =an-1 +(a)n2 +(ab)n+abc与原递归式比较系数，得a=1 a= 3a+b=0 b=12abc = 15 c=15故有an3n2+12n+15= an-1 3(n1)2+12(n1)+15an 3n2+12n+15= (a1312+12+15) ()n-1an= 25 ()n-1+ 3n2 12n15五、形如an+1= pan+q an-1(p、q为非0常数)（n2）的递推式用待定系数法，可确定实数x1, x2满足an+1x1an=x2(anx1an-1)其中x1+x2=p x1x2=q 把x1, x2看作一元二次方程x2 px q=0的两个根，容易求出 x1, x2， 从而数列an+1 x1an是等比数列，转化为前面类型可求出an.例如：已知数列an中，a1= ,a2= ,且an+1= an an-1(n2),求an.解： x1+x2= 根据 x1=1, x2= an+1= an an-1(n2),可变形为 x1x2= an+1 an = (an an-1) (或变形为an+1 an = an an-1) 令bn= an+1 an bn= bn-1 (n2) 其中b1 =a2 a1= bn= b1() n-1 = 从而an+1an = 且a1= an= a1+ = += 六、形如an+1= f(n) an+g(n)的递推式设辅助函数h(n),使f(n)= ,则an+1= an+g(n)即an+1h(n+1)= anh(n)+g(n) h(n+1),令bn =anh(n)，则bn+1=bn+g(n)h(n+1)转化为第一类型递推式，可求出an.例如：已知数列an满足nan+1= (n+2)an+n，且a1=1，求数列an的通项公式解：法一：可用归纳、猜想、数学归纳法证明求解（略） 法二：由nan+1=(n+2)an+n，可得an+1 = an+1 令 = 借助类型二叠乘法可求得 h(n+1)= h(1) 不妨取h(1)= h(n+1)= 由式有h(n+1)an+1 = h(n)an+ h(n+1) 将式代入式得 = +令bn =则式为bn+1= bn +, b1= ,从而bn= b1+ =+=故an= bnn(n+1) =n2由递推式求通项的关键是挖掘递推式中的隐含数列，有些不规则型递推式，常可用两边取倒数、两边取对数、配凑、平方、开方等等技巧创新转化为以上规则型,然后求解。参考文献：廖东明构造法在数列中应用、中学生理科应试06年第10期张敬祝数列通项公式解法荟萃（同上）周沛耕、王中峰主编高中数学奥林匹克竞赛解题方法大全山西教育出版社叶军著数学奥林匹克教程湖南师范大学出版社 4