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解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,当r1r2时,注意r2的最小值为c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有。 (2)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有(3)y2=2px(p0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小。(2)B在抛物线内,如图,作QRl交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。解:(1)(2,)连PF,当A、P、F三点共线时,最小,此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2),(注:另一交点为(),它为直线AF与抛物线的另一交点,舍去)(2)() 过Q作QRl交于R,当B、Q、R三点共线时,最小,此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=,Q()点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。例2、F是椭圆的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P为椭圆上一动点。(1)的最小值为 (2)的最小值为 分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。解:(1)4- 设另一焦点为,则(-1,0)连A,P 当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。(2)3 作出右准线l,作PHl交于H,因a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=,当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M、C共线,B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的)。解:如图, (*)点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15轨迹方程为点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出,再移项,平方,相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!例4、ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。分析:由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R为外接圆半径),可转化为边长的关系。解:sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA即 (*)点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)2a=6,2c=10a=3, c=5, b=4所求轨迹方程为 (x3)点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12),B(x2,X22),又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离,想到用定义法。解法一:设A(x1,x12),B(x2,x22),AB中点M(x0,y0)则 由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9 , 当4x02+1=3 即 时,此时法二:如图, 即, 当AB经过焦点F时取得最小值。M到x轴的最短距离为点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1,x2,从而形成y0关于x0的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B来源于“不同系统”,A在准线上,B在椭圆上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x轴上,立即可得防 此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。解:(1)椭圆中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-(2) 当m=5时, 当m=2时,点评:此题因最终需求,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差,得,将y0=x0+1,k=1代入得,可见 当然,解本题的关键在于对的认识,通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。【同步练习】1、已知:F1,F2是双曲线的左、右焦点,过F1作直线交双曲线左支于点A、B,若,ABF2的周长为( )A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是 ( )A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、已知ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列,且,点B、C的坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点A的轨迹方程是( )A、 B、 C、 D、4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是 ( )A、 B、C、 D、5、已知双曲线上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2,0),则弦AB中点的轨迹方程是 8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个,则k= 10、设点P是椭圆上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求sinF1PF2的最大值。11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,若直线l与此椭圆相交于A、B两点,且AB中点M为(-2,1),求直线l的方程和椭圆方程。12、已知直线l和双曲线及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证:。【参考答案】1、C ,选C2、C 点P到F与到x+4=0等距离,P点轨迹为抛物线 p=8开口向右,则方程为y2=16x,选C3、D ,且点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线,即y0,故选D。4、A 设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为4得, 又ca, (x-1)2+y2)7、y2=x+2(x2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x,y),则 ,即y2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P,即y22x,即x+228、4 ,令代入方程得8-y2=4 y2=4,y=2,弦长为49、 y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0 (1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0,k= 1-k2=0得k=110、解:a2=25,b2=9,c2=16设F1、F
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