第十二章 数项级数 1 级数的收敛性(一) 教学目的：掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质(二) 教学内容：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数基本要求：深刻理解数项级数收敛的定义及与数列收敛的关系(三) 教学建议： 1）要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数的敛散性2) 应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求 1 数项级数的概念、记号： 将数列的各项用加号连接起来，即 或 称为数值级数，简称级数。其中第n 项 称为通项。级数的敛散性与和 : .2 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想级数的部分和： . 3 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念级数的收敛性：若 存在，称级数收敛，称为级数的和；余和：称 为级数的余和。若部分和数列发散，则称级数发散，发散级数没有和。这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。例1 讨论几何级数 的敛散性。按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。由等比数列前n 项和的计算公式， 时，1） 当 时， ，几何级数收敛，其和为 ；2） 当 时， ，此时几何级数发散，和不存在；3） 当 时，显然 发散；结论：几何级数 ，当 时，收敛，其和为 ；当 时，几何级数发散，和不存在 例2 讨论级数 的敛散性. 解 利用 求出部分和 , 例3 讨论级数的敛散性.解 设 , , = , . , . 因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数的敛散性.解 , . 级数发散.二 收敛级数的性质因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级数收敛的充分必要条件为：定理1，（柯西准则）级数 收敛 有 根据定理1，取 ，有 ，于是有下面结论：推论1， 级数 收敛的必要条件为 本推论可以方便的用来判断级数发散。 注意这只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。例5 讨论调和级数 的敛散性。调和级数显然满足推论1，但，若取 由柯西准则，调和级数发散。例6 证明级数 收敛 .证 显然满足收敛的必要条件. 令 , 则当 时有由定理1，级数收敛与否，仅与充分远的项有关，与前面项的大小无关，因此级数有如下性质：推论2 去掉、增加或改变级数的有限项，不影响级数的敛散性。定理2（线性性质）若级数和 收敛，其和分别为 ，则级数 也收敛，其和为定理3 若级数收敛，其和为，则可对该级数任意加括号，不改变其收敛性，也不改变其和。注意发散级数，加括号不可以随意加括号，否则会改变其敛散性。例：级数 发散，但加括号后: 例7 判断级数的敛散性. ( 验证 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )3. 级数与数列的关系 :对应部分和数列, 收敛 收敛;对每个数列, 对应级数 , 对该级数, 有=.于是,数列收敛 级数 收敛. 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .