近世代数课程教案第一章 基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n的剩余类。教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类。教学措施：网络远程。教学时数：8学时。教学过程：1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为，且是任一集合的子集。（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A，B，C表示集合，习惯上用小写拉丁字母a，b，c表示集合中的元素。若a是集合A中的元素，则记为。表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例：A=1，2，3，4，B=1，2，3，100。2、描述法：元素具有的性质。例：。显然例6中的A就是例5的A。3、绘图法：用文氏图（）可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。（3）集合的蕴含（包含）定义：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为，否则说B是A的子集，记为.定义：设，且存在，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B.结论：显然，.（4）集合的运算集合的并： 集合的交：集合的差：集合在全集内的补：集合的布尔和（对称差）：集合的卡氏积：注：中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。卡氏积的推广：对上述集合运算，可以得到一批基本公式：例题：例1 A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=2A=1.2.3 B=4.5.6 那么AB=空集合.例2 A=1.2.3 B=2.4.6 那么AB=1.2.3.4.6 A=1.2.3 B=4.5.6 那么AB=1.2.3.4.5.62 映射定义：设是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个的元，都能够得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做集合到集合D的一个映射。其中，元d是在映射的象，a是b在下的逆象。例1：A1=A2=.=An=D=所有实数作成的集合.：（a1,a2,an） a12+a22+an2=(a1,a2,an)是一个A1A2AN 到D的映射.例2 ：A1=东,西,A2=南，D=高,低1：（西,南）高=1（西,南）不是一个A1A2到D的映射.2:(西,南）高，（东,南）低，则2是一个A1A2到D的映射.例3：A1=D=所有实数所成的集合.：aa 若a 1 1b 这里b2=1不是一个A1到D的映射.例4：A1=D=所有实数所成的集合. ：aa-1不是一个A1到D的映射.定义：我们说，到集合D的两个映射1与2是相同的，假如对任何一个元来说，1=2。例5：A=D=所有正整数的集合. 1：a1=1（a） 2: a=2（a） 则1与2是相同的.3 代数运算设给定，如果n=2时，f就叫做代数运算。一般地有定义：任一个的映射都叫做的一个代数运算。例1：A=所有整数，B=所有不等于零的整数。D=所有有理数 0：（a.b）=ab 是一个AB到D的代数运算，即普通的除法.例2：令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量空间的乘法是一个FV到V的代数运算.例3：A=1,B=2,D=奇，偶 0：（1.2）奇=12 是一个AB到D的代数运算.例4 A=1.2,B=1.2,D=奇，偶 0：（1.1）奇 （2.2）奇 （1.2）奇 （2.1）偶 是一个AB到D的代数运算.代数运算表：当都是有限集时，那么的每一个代数运算都可以用运算表表示。设，则运算表为： 注：对于代数运算的运算表，要求中元素在上表中的位置互换。在实际工作中，更多的是的情形，这时，有如下定义：定义：若的代数运算，则可称是的代数运算或二元运算。4 结合律例题:A=所有整数，代数运算是普通减法那么（a-b）-ca-(b-c) 除非c=0.定义：设是集合的一个代数运算，如果都有，则称满足结合律。定义：设中的代数运算为，任取个元素，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用来表示。定理：如果的代数运算满足结合律，那么对于的任意个元素来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用来表示。论证思路因是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。任取一种加括号的步骤，往证：对用数学归纳法。和分别是和个元素经加括号而运算的结果.，由归纳假设释之.5交换律 定义：设是集合的一个代数运算，如果都有，则称满足交换律。定理：设的代数运算同时满足结合律和交换律，那么中的元的次序可以任意掉换。论证思路采用数学归纳法，归纳假设时命题成立.对的情形，任掉换的位置，使之成为.注意是的一个排列. 令.用结合律和归纳法假设证明之.6分配律代数运算与的第一分配律和第二分配律的定义，以及的结合律与这两种分配律的综合运用定义：设都是集合，而是的代数运算，而是的代数运算，如果，都有那么称适合第一分配律。例. 假如B与A都是全体实数的集合，和就是普通的乘法和加法，则 b (a1a2)=(ba1) (ba2)就变为b(a1+a2)=(ba1)+(ba2)定理1：设和如上，如果满足结合律，且满足第一分配律，那么，都有论证思路采用数学归纳法，归纳假设时命题成立。先后利用：结合律的归纳假设的归纳假设直至完成证明。定义：设和同上，若，若有，那么称满足第二分配律.定理2：设和同上，若适合结合律，而适合第二分配律。那么。7 一一映射、变换在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。例1：A=1，2，3，4，5 =2，4，6，8则 ：1 2，2 4，36，42，52。是一个A 到的映射.例2：A=1，2，3， =奇，偶 则 ：1，3，5，奇，2，4，6偶 是一个A 到的映射.定义：若是在一个集合到的映射下，的每一个元都至少是A中某一个元的象，那么叫做一个到的满射。定义：一个到的映射，叫做一个到单射，假如。定义：设是集合到的映射，且既是单的又是满的，则称是一个一一映射（双射）。例3：，其中，可知显然是一个双射。注意：与偶数集之间存在双射，这表明：与它的一个真子集一样“大”。思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：为无限集的充要条件是与其某个真子集之间存在双射。定理：一个到的一一映射带来一个通常用表示的到间的一一映射。证明：由于是到的双射，那么就中任一个元素，它在中都有逆象，并且这个逆象是唯一的。利用的这一特点，则可确定由到的映射：，如果，由上述说明，易知是映射。是满射：，因是映射，再由的定义知，这恰说明，是在下的逆象。由的任意性，知是满射。是单射：由是满射的逆象分别是，又是单射，这说明，所以是单射。综合上述讨论知：是到的一个双射。结论：设是映射，那么：（1）是双射可唯一的确定一个逆映射，使得：是双射； 也是的逆映射，且；（2）是双射同时是有限集或同时是无限集。定义：一个A到A的映射叫做的一个变换。一个A到A的一一映射（单射，满射）时，也称为的一个一一变换（单射变换，满射变换）例4：A=所有实数。 ：X是A的一个单射变换.例5：A=所有整数。 ：a假如a是偶数 a假如a是奇数 是A的一个满射变换.例6：A=1，2，3 1：11，22，33 2：12，23，31都是A的一一变换.8 同态定义：一个到的映射叫做一个对于代数运算来说的，到的同态映射，假如，在之下，不管a和b是A的那两个元，只要就有 。例1：a1 (a是A的任一元)是一个A到的同态映射，1是一个A到的映射，显然对于的任意两个整数a和b来说，有a1, b1,a+b1=11例 2：2 ：a1 若a是偶数 a-1 若a是奇数 2是一个A到的满射的同态映射例 3：3 ：a-1(a是A的任一元) 固然是一个A到的映射，但不是同态映射定义：假如对于代数运算来说，有一个到的满射的同态映射存在，则称这个映射是一个是同态满射。在近世代数中，同态满射是尤其重要的。定理1：假设对于代数运算和来说，A与同态，那么 ）若适合结合律，也适合结合律 ）若适合交换律，也适合交换律。证明：（1）任取是满射，又因为中的满足结合律即，但是是同态映射。所以同理可以证明（2）定理2：假定，都是集合A的代数运算， 都是集合的代数运算，并且存在一个A到的满射，使得A与对于代数运算，来说同态。对于代数运算，来说也是同态，那么）若， 适合第一分配律， 也适合第一分配律）若， 适合第一交换律， 也适合第一交换律证明：（1）是满射.又因为是关于及的同态映射即.同理可证明（2）。9 同构、自同构定义：一个到的一一映射是一个对于代数运算来说的，到的同构映射，假如，在之下，不管a和b是A的那两个元，只要就有 。假如在一个与之间，对于代数运算来说，存在一个到的同构映射，则称对于代数运算来说，与同构，记为。例1：A=1，2，3 . =4，5，6. 1 2 3 4 5 61 3 3 3 4 6 6 62 3 3 3 5