启东市江海中学高三数学学案27课题：平面向量的数量积及平面向量的应用举例主备人：施建华 授课日期： 年 月 日【学习目标】 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直【教学过程】学生自学 1. 向量数量积的定义(1) 向量a与b的夹角 ，取值范围 ；(2) 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作 ，并规定零向量与任一向量的数量积为 ；2. 向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，则(1) eaae. (2) ab则ab . (3) 当a与b同向时，ab ；(4)当a与b反向时，ab ； (5)特殊的，aa 或|a| .(6) cos . (7) |ab|a|b|.3. 向量数量积的运算律(1) 交换律：ab .(2) 分配律：(ab)c .(3) 数乘结合律：(a)b(ab)a(b)4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab .故ab .(2) 设a(x，y)，则|a| .(3) 若向量a(x1，y1)与向量b(x2，y2)的夹角为，则有 cos .展示交流 1. 设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a3e12e2，bxe13e2，如果ab，那么实数x_.2. 已知向量a(2,1)，b(1,2)，且mtab，nakb(t、kR)，则mn的充要条件是_3. 在RtABC中，若C90，AC4，则_.4. 设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则向量a与b的夹角为_5如图，在平面四边形ABCD中，若AC3，BD2，则()()_.训练提升 例1已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则b_.例2已知a，b是非零向量，若a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直求a与b的夹角例2变式：已知向量a(3,4)，b(2，1)，如果向量ab与向量b互相垂直，则实数_.例3(2010湖南文)若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，求a与b的夹角例4已知向量a，b为单位向量，且ab，向量c与ab共线，求|ac|的最小值评价小结 1、评价 2、小结【方法规律】检测反馈 1、已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c .2、(2010江西)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|_.3、 已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|7，|5，则()_.4. 在ABC中，其面积S，则与夹角的取值范围是_