清华大学讲义摄象机模型和外极线几何适用标准文案附录 B 摄象机模型和外极线几何摄象机模型针孔模型和透视投影摄象机外参数摄象机内参数和归一化摄象机透视矩阵的一般形式B.2 透视投影的各样线性近似正投影（ orthographic projection）弱透视（ weak perspective ）平行透视（ paraperspective projection）仿射摄象机透视投影下的外极线几何外极线几何中的观点归一化坐标系中的外极线方程像素坐标系中的外极线方程投影矩阵下的外极线方程基础矩阵和外极几何变换摄象机模型在大多数应用环境中能够用理想的针孔模型来近似实质摄象机。 针孔模型的几何关系就是透视投影 。下边我们先介绍透视投影的几何关系。针孔模型和透视投影针孔摄象机的模型在第五章中已有介绍。在那边我们使用了矢量代数的表示方法，下边我们用坐标变换的方法来推导之。我们定义的第一个坐标系是摄象机坐标系。该坐标系的原点在焦心C，X、Y、Z 轴由 A、H 和 V 决定，此中A 为光轴方向， H 和 V 是正交的方向，三者构成右手直角坐标系。三维点在该坐标系中的坐标Mc 记为 (Xc ,Y c ,Z c ) T。为表示透视模型我们还需要在图象平面中成立图象坐标系 。这是一个二维坐标系，其原点位于光轴和图象平面的交点c（称为主点， principal point），两坐标轴与H 和 V平行且反向。 在该坐标系中像点m的坐标表示为 (u,v)T。在定义了这两个坐标系后，投影模型可表示为uvf(B.1)X cYcZc此中 f 为焦心到图象平面的距离，即焦距。摄象机坐标系和图象坐标系如图B.1 所示。 / 出色文档适用标准文案 孔模型，此中 焦心C 和 象平面平行的平面称 焦平面在 用中物体离焦心的距离一般都 大于焦距。所以我 常在光 上和 象平面对于焦心 称的地点上 置一个虚 象平面 ，如 B.2 。并在 虚 平面上成立二 坐 系。原点在光 和 平面的交点，两坐 与H 和 V 平行而且方向相同。把像平面上的点 焦心作中心 称映照到 虚 平面上。 平面上点的二 坐 与三 点的 象机坐 系坐 同 足上边的投影模型。此后我 一般把此虚 平面称 像平面 。使用虚 象平面的 孔模型Tx 的全部重量加上一 任一坐 x=(x 1,x 2, ) ，我 用 x 表示 x 的 次坐 。它由T,1)T个 1 的元素生成，即 x(x。在投影模型中假如我 使用m点的 次坐 (U,V,S)T， 有出色文档适用标准文案Uf000X cYcV0f00(B.2)ZcS00101此中 U,V,S 知足 S 0 且 u=U/S，v=V/S 。此外， 我们用 Pc 表示 3*4 矩阵则上式可写成线性形式(B.3)smPcM c此中 s=S 为一比率因子。f0000f00 ，0010摄象机外参数上边的议论都是在摄象机坐标系(C,X c,Y c,Z c) 中进行的，可是在实质应用中，摄象机的地点和方向其实不老是固定不变的，所以我们需要用固定的世界坐标系(O,X,Y,Z) 来表示三维点。记 Pc 在世界坐标系中的坐标为M=(X,Y,Z) T，则两坐标系的关系可用Mc=RM+t 来表示， R是旋转矩阵，它表示摄象机的方向；t 则与摄象机的地点相关，它实质是世界坐标系原点在摄象机坐标系中的坐标。这二者被称为摄象机的外参数。假如我们使用齐次坐标，上边的坐标系间的关系可写成(B.4)M cDM此中 DRtT(B.5)03T，03=0,0,01联合 (B.3)和 (B.4) 式，我们有(B.6)smPcM cPc DMPM此中 P=PcD 为世界坐标系中的投影矩阵。摄象机内参数和归一化摄象机下边我们考虑图象平面上的坐标变换。它在实质应用中十分重要，这是因为：像素坐标系的原点不必定与光轴和图象平面的交点（即主点）重合；像素坐标系中两坐标轴的单位由实质设施的采样率决定，它们不必定相同；像素坐标系中两坐标轴不必定成直角。为了办理这些问题，我们需要成立图象坐标系和像素坐标系间的仿射变换关系。如图所示， (c,x,y)是上一节介绍的图象坐标系。它是直角坐标系，而且两个轴向上的单位出色文档适用标准文案相同。 (o,u,v)则是像素坐标系，其原点常位于图象的左上角而不是主点c，像素也经常不是方的。 设 ku、kv 是 u,v 轴上的单位在图象坐标系中的胸怀值，是 u,v 两轴的夹角， (u 0,v 0)是 c 在像素坐标系中的坐标。这五个参数就是摄象机的内参数。图摄象机的内参数，图象平面上的坐标变换令 m=x,yT为图象坐标系中的坐标值，m =u,vT则是像素坐标。明显有oldnewm newHmold ，kuku cotu0此中 H0kv / sinv0。此外，依据 (B.3)式，我们有 smoldPold M c ，代入上式，001得sm newHPold M cPnewM cf000fkufk u cotu00此中 PnewHPoldH 0f000fk v / sinv00(B.7)00100010Pnew即像素坐标表示的投影矩阵。从中我们能够看到真实起作用的是=fku和v=fk ，即uv焦距的变化和像素尺度的变化在最后的图象上是不行划分的。在实质应用中为简化公式，我们经常使用所谓的归一化坐标系。该坐标系也是定义在图象平面上的二维坐标系，假如用该坐标系表示图象平面上的点，则投影矩阵PN 有特别简单1000的形式 PN0100(B.8)0010对摄象机坐标系中的点(Xc,Y c,Z c) ，其像点的归一化坐标(x N,y N) 知足xN=Xc /Z c, y N=Yc /Z c(B.9)依据 PN和 Pnew 的定义，我们能够看到PN和 Pnew知足出色文档适用标准文案Pnew=APN(B.10)uu cotu0此中， A0v / sinv0(B.11)001而归一化坐标 (x N,y N) T 和像素坐标 (u,v)T 知足xNuyNA 1v(B.12)11使用归一化坐标系实质是把摄象机的内外参数分解开来考虑， 这样当我们关注于摄象机的外参数变化的状况 ( 比如运动视觉 ) 时就不用考虑使用的是什么样的摄象机。透视矩阵的一般形式同时考虑摄象机的内外参数， 即成立像素坐标系中点 m与三维对应点在世界坐标系中的坐标值 Mw之间的映照关系，我们有(B.13)smPM w此中 P APNDA Rt(B.14)此中 A， R， t 如上两节所述。透视矩阵 P 为 3*4矩阵，因为可相差一个尺度，所以只有11 个独立参量。记 pij 为 P 中 i 行 j 列的元素，消去尺度因子s，我们获得p11 X wp12Ywp13 Zwp14(B.15)up32Ywp33 Zwp34p31 X wp21 X wp22Ywp23 Zwp24(B.16)vp32Ywp33 Zwp34p31 X w上两式可用于标定摄象机。假如有六个以上的像点和三维点的对应便可求出P，而后从P 中分解出内外参数。这方面的内容就不详述了。依据 P 我们还能够求出焦心C 在世界坐标系中的坐标。令 P=B b ，此中 B 为