第一章 矢量场1.1 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ； (e) (f)解：(a) ; (b) ( c) ; (d) (e)(f)1.2 ; 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ; (e) 解：(a) ;(b) ;(c) (d)(e)1.3 ; 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ; (e) 解：(a) ； (b) ； (c) ；(d) ; (e) 1.4 ; 当时，求。解：当时，=0, 由此得 1.5 将直角坐标系中的矢量场分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。解：(1)圆柱坐标系由(1.2-7)式，;(2)圆球坐标系由(1.2-14)式, 1.6 将圆柱坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。解：由(1.2-9)式，1.7将圆球坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。解：由(1.2-15)式，1.8求以下函数的梯度：(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6(b) (c)解：(a) (b)(c)1.9 求标量场在点(1,1,1)沿方向的变化率。解：1.10 在球坐标中，矢量场为其中为常数，证明矢量场对任意闭合曲线的环量积分为零，即解：由斯托克斯定理, 因为 所以 1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。1.14计算下列矢量场的散度a) b) c)解：(a) (b)(c)1.15计算下列矢量场的旋度a) b) c)解： (a) (b) (c) 1.16计算a) b)c)解：(a) (b)(c)1.17已知，计算解：1.18已知计算解：根据亥姆霍兹定理，因为，所以1.19已知计算解：根据亥姆霍兹定理，因为，所以1.20求矢量场穿过由确定的区域的封闭面的通量。解：根据高斯定理，矢量场穿过由确定的区域的封闭面的通量因为 所以第二章习题解2-1.已知真空中有四个点电荷，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。解：设,2-2.已知线电荷密度为的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P点的电场强度。(a) (b) (c)题2-2图解：(a) 由对称性(b) 由对称性(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为半径为a的半圆环线电荷产生的电场为总电场为2-3.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为，求轴线上的电场强度。解:在无限长的半边圆筒上取宽度为的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为,对积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为题2-3图 题2-4图2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为，求空间任一点上的电场强度。解: 在平板上处取宽度为的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为，在点处产生的电场为其中 ；对积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点处产生的电场为2-5.已知电荷分布为r为场点到坐标原点的距离，a，b为常数。求电场强度。解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理等式左边为 半径为 r 的球面内的电量为因此，电场强度为2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为r为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理等式左边为 半径为 r 的圆柱面内的电量为因此，电场强度为2-7. 在直角坐标系中电荷分布为求电场强度。解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为,方形封闭面内的电量为 因此，电场强度为 题2-9图题2-7图2-8. 在直角坐标系中电荷分布为求电场强度。解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为,方形封闭面内的电量为 因此，电场强度为 2-9.在电荷密度为（常数）半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+ca对于ra2-15.半径为a，长度为L的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为(为常数）。求介质中的束缚电荷以及束缚电荷在轴线上产生的电场。解: (1)介质中的束缚电荷体密度为(2) 介质表面的束缚电荷面密度为在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为.(3) 上下端面上束缚电荷产生的电场由例题2.2, 圆盘形电荷产生的电场为式中a 为圆盘半径。将坐标原点放在圆柱介质棒中心。对上式做变换,可上端面上束缚电荷产生的电场为同理,做变换,可下端面上束缚电荷产生的电场为上下端面上束缚电荷产生的总电场为2-16.半径为a的介质球均匀极化，求束缚电荷分布及束缚电荷在球中心产生的电场。解: (1)介质中的束缚电荷体密度为(2) 介质表面的束缚电荷面密度为 题2-16图(3) 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场在介质球表面取半径为宽度为的环带,可看成半径为,电荷线密度为的线电荷圆环,例2.1给出了线电荷圆环的电场,对积分得2-17.无限长的线电荷位于介电常数为的均匀介质中，线电荷密度为常数，求介质中的电场强度。解: 设无限长的线电荷沿 z轴放置, 利用高斯定理,容易求得介质中的电场强度为 为场点到线电荷的距离.2-18. 半径为a的均匀带电球壳，电荷面密度为常数，外包一层厚度为d、介电常数为的介质，求介质内外的电场强度。解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，利用高斯定理上式左右两边分别为 由此得 因为，所 以 2-19.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为，求两导体球壳之间的电容。解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为两导体球壳之间的电压为两导体球壳之间的电容为 2-20. 两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为、，介质界面半径为c，求两导体球壳之间的电容。解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理可得，两导体球壳之间的电场为两导体球壳之间的电压为两导体球壳之间的电容为 2-21. 圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为，介质的击穿场强为，求此电容器的耐压。解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有轴对称性，取半径为 r的柱面，忽略边缘效应，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为内导体表面上的电场最强，设等于击穿场强，则。两导体球壳之间的电场用击穿场强表示为两导体球壳之间的耐压为2-22.已知电场强度为，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。解：由于，从而，即对的线积分与路径无关，因此从点(0,0,0)到点(1,2,1)之间对的线积分的路径可取沿如图所示的路径，点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压为题2-22图2-23.已知在球坐标中电场强度为，试求点与点之间的电压。解：由于，从而，即对的线积分与路径无关，因此从点到点之间对的线积分的路径可取从沿径向到点，再从沿球面到点的路径，而第二条路径的切向与垂直，线积分为零，因此2-24.已知在圆柱坐标中电场强度为，试求点与点之间的电压。解：由于，从而，即对的线积分与路径无关，因此从点到点之间对的线积分的路径可取从沿径向到点，再从沿柱面到点的路径，而第二条路径的切向与垂直，线积分为零，因此2-25已知真空中一内外半径分别为a、b的介质球壳，介电常数为，在球心放一电量为q的点电荷，求电场强度。解：由题意，电场具有球对称结构。利用高斯定理，在半径为r的球面上由得2-26.有三层均匀介质，介电常数分别为,取坐标系使分界均平行于xy面。已知三层介质中均为匀强场，且，求。解：因为三层介质中均为匀强场，设第二、三层介质中的电场强度分别为； 由边界条件可得， 由边界条件， 可得，即；所以 ，题2-27图 题2-28图2-27.半径为a的导体球中有两个半径均为b的球形腔，在其中一个空腔中心有一个电量为q的点电荷，如图所示，求导体球腔中及球外的电场强度。解：（1）在有点电荷的空腔中，由于对称性，电场强度为，为从空腔中心指向该空腔中场点的位置矢量。（2）在另一没有点电荷的空腔中，由于静电屏蔽，该空腔中的电场强度为零。（3）在导体球外，由于导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，因此导体球外电场具有球对称性，且导体球上的电量为q,所以导体球外的电场强度为 r为导体球心到场点的距离。2-28.同轴圆柱形电容器内外半径分别为a、b，导体之间一半填充介电常数为的介质，另一半填充介电常数为的介质。当电压为V时，求电容器中的电场、电容及电荷分布。解：设内导体上的电量为q,在内外导体之间取半径为 r的圆柱面，利用高斯定理在两个半柱面上，电场强度分别相等，上式变为