资源预览内容
第1页 / 共5页
第2页 / 共5页
第3页 / 共5页
第4页 / 共5页
第5页 / 共5页
亲,该文档总共5页全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述
3.2 均值不等式典题精讲例1 已知a、b、c是正实数,求证:a+b+c.思路分析:由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考虑多次使用均值不等式.证明:a、b、c是正实数,=2c(当且仅当,即a=b时,取等号),(当且仅当,即b=c时,取等号),=2b(当且仅当,即a=c时,取等号).上面3个不等式相加,得2a+2b+2c(当且仅当a=b=c时,取等号).a+b+c.绿色通道:利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,直接推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法,其逻辑关系是AB1B2B3Bn-1BnB.(条件)(结论)其思路是“由因导果”,即从“已知”,推向已知的“性质”,从而逐步推向“未知”.变式训练 已知a,b,c都是正实数,且a+b+c=1.求证:.思路分析:本题可看成求左边式子的最大值,把左边配成积的形式,同时对等号成立的条件进行估计.证明:,同理,三个不等式相加,得.整理,得(当且仅当a=b=c=时,等号成立).例2 x时,求函数y=x+的最大值.思路分析:本题是求两个式子和的最大值,但是x并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=(2x-3)+,再求最值.解:y=(2x-3)+=-()+,当x时,3-2x0,=4,当且仅当,即x=-时,取等号.于是y-4+=,故函数有最大值.绿色通道:本题的关键是根据分母,对整式变形,从而凑出定值,同时要兼顾到正数的前提,当然本题也可作一个代换,如令3-2x=t,则t0,把y转化为关于t的函数,再求最值就显得简洁明了.变式训练1 已知x0,y0且5x+7y=20,求xy的最大值.思路分析:要注意均值不等式的正用和逆用,利用均值不等式求最值需三个条件:正;定;相等.解:xy=5x7y.当且仅当5x=7y,即x=2,y=时取等号.xy的最大值为.变式训练2 若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_.思路分析:本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围,所以保留积的式子,把积放在不等式中去考察,方法是均值不等式放缩.或者利用函数法来解决.方法一:由ab=a+b+3+3(等号成立条件为a=b),整理,得ab-30,(-3)(+1)0.3,ab9.方法二:由ab=a+b+3,可得b=(a0,b0),a1,又ab=a=(a-1)+1=(a+3)+=a-1+4+,等号成立条件为a-1=,即a=3.答案:9,+)例3 求y=(0x)的最小值.思路分析:在运用基本不等式求最值时,经常会出现不满足“正数、定值、等号”的情形,这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧,使问题转化为符合基本不等式的模型,对于等号取不到的情形,常要讨论函数的单调性,再作出判断.本题的关键是等号取不到时,通过代换,转化为研究新的函数的单调性,再求得原来函数的最值.解:0x,0sinx1.设t=,t(0,则sinx=2t,y=t+(0t).可证明函数y=t+,当t(0,时为减函数.当t=,即=,sinx=1,x=时,y有最小值2+=.ymin=.黑色陷阱:本题易忽略等号成立的条件,而得出错误的解法和答案:0x,0sinx1.y=2.ymin=2.变式训练 已知函数f(x)=,x1,+).(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x1,+),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.思路分析:把均值不等式与函数结合,是求函数最值的有效途径,(1)中当等号不成立时,通过研究函数的单调性求最小值.(2)中恒成立问题可转化为函数的最值问题,注意合理转化.(1)解:当a=时,f(x)=,f(x)在区间1,+)上为增函数,f(x)在区间1,+)上的最小值为f(1)=.(2)解法一:在区间1,+)上,f(x)=0恒成立x2+2x+a0恒成立.设y=x2+2x+a,则y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在x1,+)上递增,当x=1时,ymin=3+a.于是只需3+a0时,函数f(x)恒成立,故a-3.解法二:f(x)=,x1,+),当a0时,函数f(x)的值恒为正,当a0时,函数f(x)递增,故当x=1时,f(x)min=3+a,于是只需3+a0时,函数f(x)0恒成立,故a-3.解法三:在区间1,+)上,f(x)=0恒成立x2+2x+a0恒成立a-x2-2x恒成立.又x1,+),a应大于u=-x2-2x,x1,+)的最大值,a-(x+1)2+1,x=1时u取得最大值-3,a-3.例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4 800 m3,深为3 m,如果池底每1 m2的造价为150元,池壁每1 m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?思路分析:利用均值不等式解决有关的应用题主要是建立数学模型,构造函数及定值,然后求最值,这里主要是建立造价的函数表达式.解:设水池底面一边的长度为x m,另一边的长度为d m,则d=.又设水池总造价为y元.根据题意,得y=150+120(23x+23)=240 000+720(x+)240 000+7202x=297 600,当且仅当x=,即x=40时,y取得最小值297 600.答:水池底面一边长40 m时,总造价最低为297 600元.绿色通道:实际应用问题的求解方法:建立目标函数;求目标函数的最值.注意根据条件和要求的结论设变量.还要注意求最值时的三个条件.如果等号成立的条件不成立,则应该从函数的性质入手,考虑函数的单调性.变式训练 设计一幅宣传画,要求画面面积为4 840 cm2,画面的宽与高的比为(1),画面的上、下各留8 cm的空白,左、右各留5 cm的空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求,,那么为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?思路分析:建立数学模型,把问题转化为函数的最值问题来解决,主要是用均值不等式及函数的性质相结合求函数最小值.解:设画面高为x cm,宽为x cm,则x2=4 840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,将x=代入上式,得S=5 000+,当,即=(1)时,S取得最小值.此时高x= =88 cm,宽x=88=55 cm.如果,可设12,则由S的表达式,得S(1)-S(2)=.又,故0.S(1)-S(2)0.S()在区间,内单调递增.从而对于,当=时,S()取得最小值.答:画面高为88 cm,宽为55 cm时,所用纸张面积最小.如果要求,当=时,所用纸张面积最小.问题探究问题 某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几层楼?导思:解本题的关键是基本不等式的应用.探究:设不满意程度为y.由题意知,y=n+.n+.当且仅当n=,即n=时取等号.但考虑到nN+,n21.414=2.8283.答:此人应选3楼,不满意度最低.1
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号