e度社区切换其他城市 北京 南京 上海 天津 武汉 广州 郑州 沈阳 在线 5298 人奥数中考高考英语作文幼教家教教育视频收藏专题 | 办学成绩 | 小 升 初 | 教育新闻 | 重点小学 | 重点中学 | 模拟试题 | 教育孩子 | 招聘信息 赛事 | 中 环 杯 | 新手入门 | 华 杯 赛 | 趣味数学 | 奥数名师 | 赛事真题 | 数学故事 | 合作加盟 资料 | 09小升初 | 天 天 练 | 小机灵杯 | 奥数题库 | 试题答案 | 最新赛事 | 例题讲解 | E 度论坛 09年小升初讨论专区与奥数老师零距离家长服务区小学生讨论区 试题下载区 星级考揭秘区首页招生信息小升初必知重点中学重点小学奥数题库五年级三四年级一二年级英语网进入预初奥数网上海分站最新推荐【试题互动】世界名题第一波 你都会做吗 【试题互动】世界名题第一波 你都会做吗2009-06-09作者：匿名来源：中国奥数网 5298人正在讨论相关问题 高斯算法卡尔弗里德里希高斯是世界著名的数学家。小高斯出生在一个德国的农民家庭里，由于家境贫困，他并没有受过什么早期教育，但他很小的时候就聪颖过人，有很高的数学天赋。小高斯上小学一年级时，有一天，老师出了这样一道数学题让同学们计算：123499100=？老师刚刚出完题目，全班小朋友还在埋头计算，小高斯就很快说出了正确答案：5050。小高斯是怎么巧妙地算出答案的呢？原来他通过细心观察，发现1100这一串数有一个十分明显的特征，即它们相邻两个数的差都相等。若把这100个数，从两头往中间逐个相加，它们的和又都相等：1100=298=4952=5050。像这样一共有50（1002）个数对，每对的两个数的和为101。所以它们的总和为：（1100）1002=10150=5050归纳出一个公式，是：（首相末项）项数2（此公式为“高斯算法”的公式）注：在数学上，人们把1-100这些书中的每个数都叫做一个项，并把这样的一串数称做等差数列。例1：100以内所有奇数的和是多少？分析：100以内的奇数，第一个是1；第二个是3；第三个是5最后一个是99，乙共有50个数。其和为： （199）502=2500答：（略）。例2：12345678925262728= 。分析：仔细观察这个算式，发现它很有规律地出现着一些“减数”。因此，计算时应特别细心。下面介绍三种解法：解法一：变减为加，整体推算。（其中减数为4的倍数，共284=7个）（128）282（428）722=406224=182这样想：开始我们把减数当成加数来算了，所以后来应减去这些减数的2倍解法二：分组累计。从头算起每四个数为1组，分别计算每组数的得数为：2、10、1850。其和为：26、34、42（250）72=182这样想：四个数为1组，28个数即可分成7组。所以项数是7。解法三：加数、减数分别统计。减数全部拿出以后，剩下的加数是：1235679252627，把这些加数每3个一组，并求出每组之和：（123）（567）（9）（252627）=61878=（678）72=294七个减数的和为：（428）72=112原式的得数为：294112=182例3：小添添家的大时钟几点钟就敲几下，而且每半点也敲一下。请问，这只时钟一昼夜共敲了多少下？分析：我们先考虑每半点敲的那些，从1点到12点，时钟分别敲了1、2、311、12下。利用“高斯算法”求出它们的和，再加上每半钟敲的12下。因为一昼夜是24小时，时针要在钟面上转两圈，所以最后还应乘以2。列式为：（112）122122=78122=902=180（下）答：（略）。例4：有一列数：19、22、25、28请问，这列数的前99个数（从19开始算起）的总和是多少？分析：求总和，必须先算出这个数列的末项（即第99个数）是多少。仔细观察它们的那前几项，不难发现：后一个数都比它前面的数大“3”（这就叫做这个数列的公差）。如果都与第一个数相比，第二个数比第一个数多3；第三个数比第一个数多2个3；第四个数比第一个数多3个3由此不难推想出，第九十九个数一定比第一个数多98个3，它是：193（991）=19398=19294313再利用“高斯算法”求和：（19313）992=16434由此归纳出求末项的公式：首项公差（项数1）=末项例5：从“99”开始，每隔三个数写出一个数来：99、103、107、111求“1999”是这数中的第几个数？分析：求项数的思考方法与例4基本相同，首先观察这列数的前几项，发现他们从第二个数开始，每个数都比它前面的数多4（即公差），仍拿它们都与第一个数相比，第2个数比第1个数多4；第3个数比第1个数多2个4；第4个数比第1个数多3个4；要知道“1999”是这列数中的第几个数，只要算一算它比第一个数多多少个“4”就可以了。列式为：（199999）4=19004=475“1999”是这列数中的第476（4751）个数。归纳出求和项数的公式：（末项首项）公差1 = 项数 欧几里得算题 例1：骡子和驴驮着谷物并排走在路上，骡子在途中对驴说：“如果你把驮的谷物给我一包，我驮的包数就是你的2倍；如果我给你一包谷物，咱俩驮的包数相等。”请你猜一猜，它们各驮多少包谷物？ 解：从题中骡子对驴说：“如果我给你一包谷物，咱俩驮的包数相等”，可以看出，骡子比驴多驮了2包；又由骡子说的“如果你把驮的谷物给我一包，我驮的包数就是你的2倍”，可以看出，在骡子比驴多驮2包的情况下，驴又给了骡子一包，这时骡子比驴多驮3包，而驴又少驮了1包，实际上是驴比骡子少驮4包了。这4包所对应的倍数是（21）倍。所以，一倍数是： （1111）（21） =41 =4（包） 驴驮的谷物是： 41=5（包） 骡子驮的谷物是： 5+1+1=7（包） 答：（略）。例6：以“63”开始每隔10个数写出一个数来，得到：63、74、85、96、一共写出了177个数（63是第一个数，74是第二个数，），这177个数的和是多少？分析：要计算这177个数的和，首先必须知道它的最后一个恕（即末项）是多少。列式如下： 第177个数是多少？63（7463）（1771）=6311176=1999 利用高斯算法求和。（631999）1772=20621772=182487答：（略）。 此题选自日本大阪女子学院附属中学初中招生试题 例：大杯小杯一行行，用它来装白砂糖； 有糖四百二十克，五大三小全装完； 若用五小加三大，三八O克可盛光。 大小杯子各一个，各可容纳多少糖？ 这道题的意思是：有容量分别相同的大杯和小杯若干个，装白砂糖。现在往5个大杯和 3个小杯里装满砂糖，总共装了420克；又往3个大杯和5个小杯里装满砂糖，总共装了380克。求每个大杯和每个小杯里可分别装多少克砂糖？ 解法一：因为“往5个大杯和3个小杯里装满砂糖，总共装了420克；又往3个大杯和5个小杯里装满砂糖，总共装了380克”，这就是把开始的2个大杯后来换成了2个小杯，因此，2个大杯比2个小杯多装了砂糖：420380=40（克） 所以，1个大杯比一个小杯多装砂糖：402=20（克） 因为“往5个大杯和3个小杯里装满砂糖，总共装了420克”，我们把5个大杯换成5个小杯，8个小杯里装的砂糖就是：420205=320（克） 每个小杯里装的砂糖是：3208=40（克） 每个大杯里装的砂糖是：40+20=60（克） 答：（略）。 解法二：根据“往5个大杯和3个小杯里装满砂糖，总共装了420克；又往3个大杯和5个小杯里装满砂糖，总共装了380克”可列出下列的数量关系式： 5大杯+3小杯=420克 3大杯+5小杯=380克 3，5得 15大杯+9小杯=1260克 15大杯+25小杯=1900克 得 16小杯=300克 1小杯=40克 把1小杯=40克带入得 5大杯=300克 1大杯=60克 答：（略）。 兔生小兔例：如果每一对兔子每月能生一对新兔，而每一对新兔在出生的第三个月里开始生一对新兔，假定在不发生死亡的情况下，一对出生的兔子在1年（12个月）能繁殖多少对？分析：在一月份里是1对，在2月份里小兔尚未成熟，仍是一对兔子，在3月份里，这对兔子生了一对小兔，这时共有兔子两对；在4月份里，原来兔子又生一对小兔，但上月初生的小兔仍未长成，这样兔子共有3对；5月份里总共有5对；用同样的方法算下去，各月份兔子总数就得到了。上面的顺推的办法着实有点笨，下面我们换一种思路推推看，我们容易发现：从第三个月起兔子可分成两类：一类是上个月的兔子，一类是当月新生的小兔，而这些小兔对数恰好等于往前数两个月时的兔子对数，因为那个月份的兔在该月均能生小兔，这就是说，从第三个月起，每个月兔子数均为前两个月（上月和上上月）的兔子对数之和。这样一、二、三诸月兔子依次为：1、1、2（=11），3（=12），5（=23），8（=35），13（=58），21（=813）如此一来，我们不仅能算的一年后的兔子数，还可算出若干年后的兔子数。例：如果今年初生小兔3对，问半年后将有兔子多少对？解：当初生小兔为3对，则个月兔子数依次为：3、3、6、9、15、24、39故半年后，将有39对兔子。 拼拼算算 例1：一个正方形的边厂是1厘米，有36个这样的正方形，拼成一个长方形，问长方形的周长是多少？ 分析：因为36 = 136 = 218 = 312 = 49 = 66，所以36个正方形拼成一个长方形，可以有以下几种拼法。 解：如图3-1所示，这些长方形的周长分别是 （1）（136）2=74（厘米）； （2）（218）2=40（厘米）； （3）（312）2=30（厘米）； （4）（49）2=26（厘米）； （5）（66）2=24（厘米）。 因此，36个边长为1厘米的正方形拼成长方形时，长方形的周长分别是74厘米，40厘