平面向量的概念与线性运算基础巩固强化1.(文)(2011广西六校联考、北京石景山检测)已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么()A.B.2C.3 D2答案A解析2，220，.(理)(2012珠海调研)已知ABC及其平面内点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m等于()A2 B3 C4 D5答案B解析解法1：由已知条件.如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点延长BM交AC于E，延长CM交AB于F，则E、F分别为AC、AB的中点，即M为ABC的重心()，即3，则m3.解法2：2m，(m2)，0，(m2)，m3.2(2011广东江门市模拟)若四边形ABCD满足0，()0，则该四边形一定是()A直角梯形 B菱形C矩形 D正方形答案B解析由0知，即ABCD，ABCD.四边形ABCD是平行四边形又()0，0，即ACBD，因此四边形ABCD是菱形，故选B.3(文)如图所示，在ABC中，3，若a，b，则等于()A.abBabC.abDab答案B解析3，()ba.(理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab答案D解析由条件易知，aa(ba)ab.故选D.4(2011广东文)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A. B.C1 D2答案B解析ab(1,2)(1,0)(1，2)，因为(ab)c，所以4460，所以.5(文)(2011惠州模拟)在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则的值为()A1 B.C2 D.答案C解析()，2.(理)(2011厦门模拟)已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，x，则x的值为()A0 B.C. D.答案D解析x1，x.6设e1，e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|AP|PB|4，如图所示，则()A.e1e2B.e1e2C.e1e2D.e1e2答案C解析4，5，()e1e2.7(文)(2011山东济南市调研)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析(如图)因为kk()k()(1k)，所以1km，且，解得k，m.(理)(2011聊城模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中， ，R，则_.答案解析如图，四边形ABCD是平行四边形，且E、F分别为CD、BC中点()()()()()，()，.8(文)(2011合肥模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，则_.答案解析，1，A、B、C三点共线，.(理)(2012四川文)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A|a|b|且ab BabCab Da2b答案D解析对于A，|a|b|，且ab，可知a与b共线，若反向，则不能满足结论，对于B选项，两向量反向，而C选项ab，同样若反向不能满足而D项显然满足，故选D.点评注意到是与a同向的单位向量，是与b同向的单位向量，故a与b同向9(2012东北三省四市联考)在ABC中，AB2AC2，1，若x1x2(O是ABC的外心)，则x1x2的值为_答案解析O为ABC的外心，x1x2，x1x2，由向量数量积的几何意义，|22，4x1x22，又x1x2，x1x2，联立，解得x1，x2，x1x2.10(文)如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知c，d，试用c、d表示、.解析解法一：c，d，由得(2dc)，(2cd)解法二：设a，b，因为M、N分别为CD、BC的中点，所以b，a，于是有：解得即(2dc)，(2cd)(理)如图，在ABC中，AMAB13，ANAC14，BN与CM交于P点，且a，b，用a，b表示.分析由已知条件可求、，BN与CM相交于点P，B、P、N共线，C、P、M共线，因此，可以设，利用同一向量的两种a，b的线性表示及a、b不共线求解；也可以设，用a、b，来表示与，利用与共线及a、b不共线求解解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章解析由题意知：a，b，ba，ab.设，则ba，ab.b(ba)ab，a(ab)ab，abab，而a，b不共线且.因此ab.能力拓展提升11.(2011山东青岛质检)在数列an中，an1ana(nN*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量，满足a1a2010，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2010等于()A1005 B1006C2010 D2012答案A解析由题意知，a1a20101，又数列an为等差数列，所以S201020101005，故选A.12(文)(2011安徽安庆模拟)已知点P是ABC所在平面内一点，且满足3520，设ABC的面积为S，则PAC的面积为()A.S B.SC.S D.S答案C分析由系数325，可将条件式变形为3()2()0，故可先构造出与，假设P为P点，取AB、BC中点M、N，则()，()，条件式即转化为与的关系解析设AB，BC的中点分别为M，N，则()，()，3520，3()2()，32，即点P在中位线MN上，PAC的面积为ABC面积的一半，故选C.(理)(2011东北三校联考)在ABC中，点P是AB上的一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，则t的值为()A. B.C. D.答案C解析，32，即22，2，因此P为AB的一个三等分点，如图所示A，M，Q三点共线，x(1x)(x1)(0x1)，(1).，且t(0t1)，(1)t()，且1t，解得t，故选C.13已知点A(2,3)，C(0,1)，且2，则点B的坐标为_答案(2，1)解析设点B的坐标为(x，y)，则有(x2，y3)，(x,1y)，因为2，所以解得x2，y1.14已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_答案2解析如图，D是BC中点，将ABC补成平行四边形ABQC，则Q在AD的延长线上，且|AQ|2|AD|2|DP|，0，又，P与Q重合，又2，2.15(文)已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)(1)求实数x，使两向量、共线(2)当两向量与共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？解析(1)(x,1)，(4，x)，x240，即x2.(2)当x2时，.当x2时，(6，3)，(2,1)，.此时A、B、C三点共线，从而，当x2时，A、B、C、D四点在同一条直线上但x2时，A、B、C、D四点不共线(理)(2011济南模拟)已知ABC中，a，b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足ab，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由解析依题意，由ab，得(ab)，即()如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则，A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过ABC边BC的中点(或ABC的重心)16已知a(2xy1，xy2)，b(2，2)(1)当x、y为何值时，a与b共线？(2)是否存在实数x、y，使得ab，且|a|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由解析(1)a与b共线，存在非零实数使得ab，(2)由ab(2xy1)2(xy2)(2)0x2y30.由|a|b|(2xy1)2(xy2)28.由解得或xy1或xy.1设平面内有四边形ABCD和点O，若a，b，c，d，且acbd，则四边形ABCD为()A菱形 B梯形C矩形 D平行四边形答案D解析解法一：设AC的中点为G，则bdac2，G为BD的中点，四边形ABCD的两对角线互相平分，四边形ABCD为平行四边形解法二：ba，dc(ba)，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形2(2011银川模拟)已知a、b是两个不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A、B、C三点共线的充要条件是()A2 B1C1 D1答案D解析A、B、C三点共线，与共线，存在tR，使t，abt(ab)tatb，a，b不共线，即1.3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线