平行线的证明 一知识导学 本节是以一个公理作为基础，从而推出两个定理。 公理：同位角相等，两直线平行。 定理：同旁内角互补，两直线平行。 定理：内错角相等，两直线平行。 以上定理说明，在现阶段，我们证明两条直线平行的方法有三种。 二、例题： 例1已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。 （1）1和2是内错角，1=2， （2）1=2，AB/CD（两直线平行，内错角相等） 分析：根据“三线八角”的概念，对（1），（2）可从内错角的条件入手。 解：（1）因为没有直线CD/AB的条件，不能得出内错角1，2相等的结论。 （2）理由填错了，应改为： 2，CD/AB （内错角相等，两直线平行） 例2如图，1=2，3=4，试问EF是否与GH平行？ 分析：要判断EF与GH是否平行，只要能找到与EF，GH有关的一对角（同位，内错，同旁内角都可以）相等或互补即可。 解：1=2（已知） 又CGE=2（对顶角相等） 1=CGE（等量代换） 又3=4（已知） 3+1=4+CGE（等量加等量，其和相等） 即MEF=EGH， EF/GH（同位角相等，两直线平行）。 说明：本题解答过程就是一种推理过程，每一步因果关系分明。由因导果的依据要在式子后面的括号内写明了。此题属于平行线判定类型。 例3如图写出能使AB/CD成立的各种题设。 分析：应先找和AB，CD这二条直线有关的第三条截线所组成的“三线八 角”来判定AB/CD。 解：使AB/CD成立的题设有： （1）根据同位角相等，判定两直线平行有：EAB=EDC，FDC=FAB （2）根据内错角相等，判定两直线平行有：3=4或7=8。 （3）根据同旁内角互补，判定两直线平行有：BAD+ADC=180或ABC+BCD=180。 例4已知如图，AB/CD，1=3，求证：AC/BD。 分析：因为本题是判定两条直线平行的，应选用平行线的判定，应从给定的条件中去寻找 角的关系，因为AB/CD，所以可知1=2，又因为1=3，可推出2=3，能判定AB与CD平行。 证明：AB/CD（已知） 1=2（两直线平行内错角相等） 又1=3（已知） 2=3（等量代换） AC/BD（同位角相等，两直线平行）。 例5已知如图1=2，BD平分ABC，求证：AB/CD 证明：BD平分ABC（已知） 2=3（角平分线定义） 1=2（已知） 1=3（等量代换） AB/CD（内错角相等两直线平行）。 例6如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若1=2，2+3=180，求证：ac 分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。1与7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a/c。 法（一）证明： d是直线（已知） 1+4=180（平角定义） 2+3=180，1=2（已知） 3=4（等角的补角相等） a/c（同位角相等，两直线平行） 法（二）证明： 2+3=180，1=2（已知） 1+3=180（等量代换） 5=1，6=3（对顶角相等） 5+6=180（等量代换） a/c（同旁内角互补，两直线平行） 说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。