教学内容:知识点归纳 一. 向量得基本概念与基本运算1向量得概念:向量:既有大小又有方向得量向量一般用来表示,或用有向线段得起点与终点得大写字母表示,如:几何表示法 ,;坐标表示法 向量得大小即向量得模(长度),记作|即向量得大小,记作 向量不能比较大小,但向量得模可以比较大小.零向量:长度为0得向量,记为,其方向就是任意得,与任意向量平行零向量0 由于得方向就是任意得,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)得问题中务必瞧清楚就是否有“非零向量”这个条件.(注意与0得区别)单位向量:模为1个单位长度得向量向量为单位向量1平行向量(共线向量):方向相同或相反得非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反得向量,称为平行向量记作由于向量可以进行任意得平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量相等向量:长度相等且方向相同得向量相等向量经过平移后总可以重合,记为大小相等,方向相同2向量加法求两个向量与得运算叫做向量得加法设,则+=(1);(2)向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:(1)用平行四边形法则时,两个已知向量就是要共始点得,与向量就是始点与已知向量得始点重合得那条对角线,而差向量就是另一条对角线,方向就是从减向量指向被减向量(2) 三角形法则得特点就是“首尾相接”,由第一个向量得起点指向最后一个向量得终点得有向线段就表示这些向量得与;差向量就是从减向量得终点指向被减向量得终点当两个向量得起点公共时,用平行四边形法则;当两向量就是首尾连接时,用三角形法则.向量加法得三角形法则可推广至多个向量相加:,但这时必须“首尾相连”.3向量得减法 相反向量:与长度相等、方向相反得向量,叫做得相反向量记作,零向量得相反向量仍就是零向量关于相反向量有: (i)=; (ii) +()=()+=;(iii)若、就是互为相反向量,则=,=,+=向量减法:向量加上得相反向量叫做与得差,记作:求两个向量差得运算,叫做向量得减法作图法:可以表示为从得终点指向得终点得向量(、有共同起点)4实数与向量得积:实数与向量得积就是一个向量,记作,它得长度与方向规定如下:();()当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时,方向就是任意得数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=6平面向量得基本定理:如果就是一个平面内得两个不共线向量,那么对这一平面内得任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线得向量叫做表示这一平面内所有向量得一组基底7 特别注意:(1)向量得加法与减法就是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行就是向量相等得必要条件(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)得情况(4)向量得坐标与表示该向量得有向线条得始点、终点得具体位置无关,只与其相对位置有关二. 平面向量得坐标表示1平面向量得坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同得两个单位向量作为基底由平面向量得基本定理知,该平面内得任一向量可表示成,由于与数对(x,y)就是一一对应得,因此把(x,y)叫做向量得坐标,记作=(x,y),其中x叫作在x轴上得坐标,y叫做在y轴上得坐标(1)相等得向量坐标相同,坐标相同得向量就是相等得向量(2)向量得坐标与表示该向量得有向线段得始点、终点得具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量得坐标运算:(1) 若,则(2) 若,则(3) 若=(x,y),则=(x, y)(4) 若,则(5) 若,则若,则3 向量得运算向量得加减法,数与向量得乘积,向量得数量(内积)及其各运算得坐标表示与性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量得加法1平行四边形法则2三角形法则向量得减法三角形法则向量得乘法就是一个向量,满足:0时,与同向;0时,与异向;=0时, =向量得数量积就是一个数或时,=0且时,三.平面向量得数量积1两个向量得数量积:已知两个非零向量与,它们得夹角为,则=cos叫做与得数量积(或内积) 规定2向量得投影:cos=R,称为向量在方向上得投影投影得绝对值称为射影3数量积得几何意义: 等于得长度与在方向上得投影得乘积4向量得模与平方得关系:5乘法公式成立: ;6平面向量数量积得运算律:交换律成立:对实数得结合律成立:分配律成立:特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=7两个向量得数量积得坐标运算:已知两个向量,则=8向量得夹角:已知两个非零向量与,作=, =,则AOB= ()叫做向量与得夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时,=00,当且仅当与反方向时=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直:如果与得夹角为900则称与垂直,记作10两个非零向量垂直得充要条件:O巩固练习例1 给出下列命题: 若|,则=; 若A,B,C,D就是不共线得四点,则就是四边形ABCD为平行四边形得充要条件; 若=,=,则=,=得充要条件就是|=|且/; 若/,/,则/,其中正确得序号就是 例2 设A、B、C、D、O就是平面上得任意五点,试化简:, 例3设非零向量、不共线,=k+,=+k (kR),若,试求k例4 已知向量,且,求实数得值例5已知点,试用向量方法求直线与(为坐标原点)交点得坐标例6已知两单位向量与得夹角为,若,试求与得夹角例7 已知,按下列条件求实数得值 (1);(2);例8已知,且与夹角为120求; ; 与得夹角。例9已知向量=,= 。求与; 当为何值时,向量与垂直？ 当为何值时,向量与平行？并确定此时它们就是同向还就是反向？例10已知=,= ,=,设就是直线上一点,就是坐标原点求使取最小值时得; 对(1)中得点,求得余弦值。例11在中,为中线上得一个动点,若 求:得最小值。平面向量得基本定理:如果e1与e2就是同一平面内得两个不共线向量,那么对该平面内得任一向量a,有且只有一对实数、,使a=e1e2。如(1)若,则_(答:);(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底得就是 A、 B、 C、 D、 (答:B);(3)已知分别就是得边上得中线,且,则可用向量表示为_(答:);(4)已知中,点在边上,且,则得值就是_(答:0)2.平面向量得数量积:如果两个非零向量,它们得夹角为,我们把数量叫做与得数量积(或内积或点积),记作:,即。规定:零向量与任一向量得数量积就是0,注意数量积就是一个实数,不再就是一个向量。如(1)ABC中,则_(答:9);(2)已知,与得夹角为,则等于_(答:1);(3)已知,则等于_(答:);(4)已知就是两个非零向量,且,则得夹角为_(答:)3.在上得投影为,它就是一个实数,但不一定大于0。如已知,且,则向量在向量上得投影为_(答:)5.向量数量积得性质:设两个非零向量,其夹角为,则:;当,同向时,特别地,;当与反向时,;当为锐角时,0,且不同向,就是为锐角得必要非充分条件;当为钝角时,0,且不反向,就是为钝角得必要非充分条件;非零向量,夹角得计算公式:;。如(1)已知,如果与得夹角为锐角,则得取值范围就是_(答:或且);(2)已知得面积为,且,若,则夹角得取值范围就是_(答:);(3)已知与之间有关系式,用表示;求得最小值,并求此时与得夹角得大小(答:;最小值为,)12、向量中一些常用得结论:(1)一个封闭图形首尾连接而成得向量与为零向量,要注意运用;(2),特别地,当同向或有;当反向或有;当不共线(这些与实数比较类似)、(3)在中,若,则其重心得坐标为。如若ABC得三边得中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则ABC得重心得坐标为_(答:);为得重心,特别地为得重心;为得垂心;向量所在直线过得内心(就是得角平分线所在直线);得内心;(4)向量中三终点共线存在实数使得且、如平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,若点满足,其中且,则点得轨迹就是_(答:直线AB)已知O,N,P在所在平面内,且,且,则点O,N,P依次就是得 (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心在四边形ABCD中,=(1,1),则四边形ABCD得面积就是 设斜得外接圆圆心为,两条边上得高得交点为,则实数= 。 O就是平面上一定点,A、B、C就是平面上不共线得三个点,动点P满足,则P得轨迹一定通过得( )A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心(四)向量与解析几何在解析几何中,熟练掌握下列结论,有助于更好地运用向量:(1)A、B、C三点共线等价于存在实数,使得();(2)得重心G得坐标公式为.(3)直线得方向向量就是什么？ 给定两点:,那么,这也就就是方向向量,横坐标单位化,得:,也就就是说:直线得方向向量就是,直线得法向量就是.例如:已知为坐标原点,点得坐标分别为,点运动时,满足,(1)求动点得轨迹得方程. (2)设、就是轨迹上得两点,若,求直线得方程体验练习题一:一、选择题1.已知平面向量a= ,b=, 则向量( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限得角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限得角平分线 2.一质点受到平面上得三个力(单位:牛顿)得作用而处于平衡状态.已知,成角,且,得大小分别为2与4,则得大小为( )A. 6 B. 2 C. D. 3.设P就是ABC所在平面内得一点,则()A. B. C. D.4.设向量,满足:,.以,得模为边长构成三角形,则它得边与半径为得圆得公共点个数最多为 ( )A. B. C. D.5.已知,向量与垂直,则实数得值为( ) (A) (B) (C) (D)6. 8.在平行四边形中,与交于点就是线段得中点,得延长线与交于点.若,则( )A.B.C.D.7. 3.已知平面向量,且/,则( )