高三数学复习导学案（4课时） 直接证明与间接证明 遂宁中学 吴顺意第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想.（答案：若，且，则 ）2. 已知，求证：.先完成证明 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题： 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc. 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） 板演证明过程（注意等号的处理） 讨论：证明形式的特点 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证. 出示例2：在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为ABC等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ 板演证明过程 讨论：证明过程的特点. 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习： 为锐角，且，求证：. （提示：算） 已知 求证：3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角，. （教材P100 练习 1题） （两人板演 订正 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. 的三个内角成等差数列，求证：.3. 作业：教材P102 A组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？ 2. 讨论：如何证明基本不等式. （讨论 板演 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题： 出示例1：求证. 讨论：能用综合法证明吗？ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ 板演证明过程 （注意格式） 再讨论：能用综合法证明吗？ 比较：两种证法 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示： 要点：逆推证法；执果索因. 练习：设x 0，y 0，证明不等式：. 先讨论方法 分别运用分析法、综合法证明. 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证： .3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a, b, c是的ABC三边，S是三角形的面积，求证：.略证：正弦、余弦定理代入得：，即证：，即：，即证：（成立）.2. 作业：教材P100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 但 A、B、C共线，lm(矛盾) 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.二、讲授新课：1. 教学反证法概念及步骤： 练习：仿照以上方法，证明：如果ab0，那么 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识.2. 教学例题： 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ 如何从假设出发进行推理？ 得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，P不是圆心，连结OP，则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），不被P平分. 出示例2：求证是无理数. （ 同上分析 板演证明，提示：有理数可表示为）证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），从而：，可见m是3的倍数.设m=3p（p是正整数），则 ，可见n 也是3的倍数.这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. 不可能，是无理数. 练习：如果为无理数，求证是无理数.提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即. 由，则也是有理数，这与已知矛盾. 是无理数.3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）三、巩固练习： 1. 练习：教材P102 1、2题 2. 作业：教材P102 A组4题.教学后记： 板书设计：