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2.3.2矩阵乘法的简单性质学习目标:1、通过几何变换,使学生理解一般情况下,矩阵乘法不满足交换律;2、会验证矩阵的乘法满足结合律;3、从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去律。活动过程:活动一:矩阵乘法的简单性质背景:对任意的实数,有:,。 即实数的乘法运算具有交换律、结合律和消去律,那么矩阵的乘法也具有与上述实数乘法类似的运算性质吗?问题1:已知,计算,;试比较结果,可以得到什么结论。你能否再举一个类似的例子吗?注意:问题2:若,判断等式是否成立。问题3:已知,计算,;试比较结果,可以得到什么结论。结论:1、 ; 2、 ; 3、 。活动二:矩阵乘法简单性质的应用例1:已知梯形ABCD,A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),变换T1对应矩阵为,变换T2对应矩阵为,计算MN,NM,比较它们是否相同,并从几何变换的角度解释。思考:在什么条件下矩阵的乘法可以满足交换律?(即二阶矩阵P,Q使得PQ=QP时有什么共同特征?)例2:已知:A=,B,C,计算AB,AC。说明:此题说明矩阵乘法不满足消去律。虽然有AB=AC,但思考:你能否举一个例子使得在某个条件下矩阵的乘法可以满足消去律? 例3:已知单位矩阵E,对任意二阶矩阵A,证明恒有等式:EA=AE=A例4:对任意的二阶非零矩阵A,B,C,总有(1)ABBA; (2)AB0; (3)若AB=AC,则B=C(4)A(BC)=(AB)C; (5)A20; (6)A0=0A=0则以上判断为真命题的序号为 活动三:课堂小结与自主检测1、证明下列等式成立,并从几何变换的角度给予解释。 (1); (2)2、设,若矩阵把直线l:变换成另一条直线:,试求的值。3、已知,A(0,0),B(2,0),C(1,2),对它先作对应的变换,再作 对应的变换,试研究变换作用后的结果,并用一个矩阵来表示这两次变换。4、已知正方形ABCD,其中A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),先将正方形绕原点顺时针旋转,再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半,横坐标不变。试求:(1)连续两次变换所对应的变换矩阵M;(2)点A,B,C,D在作用下所得到的结果;(3)在直角坐标系内画出两次变换后得到的图形,并验证(2)中的结果; (4)若先将正方形的纵坐标压缩为原来的一半,横坐标不变,再将所得图形绕原点顺时针旋转,所得图形会是什么样?试画出示意图。
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