立体几何中折叠与展开问题（2）祁东育贤中学 周友良【知识与方法】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。【认知训练】1.ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将ABC沿AD折成大小为的二面角B-AD-C，若，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形C、直角三角形 D、形状与a、b的值有关的三角形2.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：ABCDEFMN点M到AB的距离为三棱锥CDNE的体积是 AB与EF所成角是 其中正确命题的序号是 3将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线与是异面直线的是 （ ）MNPQMP QNMNPQMNPQ A B C D4.正方形ABCD中，M为AD的中点，N为AB中点，沿CM、CN分别将三角形CDM和CBN折起，使CB与CD重合，设B点与D点重合于P，设T为PM的中点，则异面直线CT与PN所成的角为（ ）A,300 B,450 C,600 D,900 ) 5.（06山东卷）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为(A) (B) (C) (D) 6.在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，C1CBA1ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_7.用一张正方形的包装纸把一个棱长为a的立方体完全包住，不能将正方形纸撕开，所需包装纸的最小面积为A. B C. D. 【能力训练】例1.点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点沿对角线把正方形折成直二面角DACB（）求的大小；（）求二面角的大小例2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N。求1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；2) PC和NC的长；3) 平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）ABCDGE例3.已知ABC的边长为3，D、E分别是边BC上的三等分点，沿AD、AE把ABC折成ADEF，使B、C两点重合于点F，且G是DE的中点（1）求证：DE平面AGF（2）求二面角ADEF的大小；（3）求点F到平面ADE的距离.例4（江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；图1图2（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）例5.（辽宁卷）已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.(I) 证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值. AACBDEFBCDEF【达成测试】1.长方形中，AB=BC,把它折成正三棱柱的侧面，使AD与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分别交于M、N,则截面MNA与棱柱的底面DFH所成的角等于( )A30o B45o C60o D90o2如图999是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC的值为（）图999A180 B120C45 D603.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将ABC 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度 数为 （）A90B60C45D04.如图9100表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对图9100 图9101【分析】平面图形的翻折应注意翻折前后各元素相对位置的变化，AB、CD、EF和GH在原正方体中如图9101有AB与CD、EF与GH、AB和GH三对异面直线5.如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是_(要求：把你认为正确图形的序号都填上) 6.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_6.解：如左图,在平面AED内作MQAE交ED于Q,则MQED,且Q为ED的中点,连结QN,则NQED且QNEB,QN=EB,MQN为二面角ADEB的平面角,MQN=45AB平面BCDE,又AEB=MQN=45,MQ=AE=EB,在平面MQN内作MPBQ,得QP=MP=EB,故PB=QP=EB,故QMN是以QMN为直角的等腰三角形,即MNQM,也即MN子AE所成角大小等于90 7.如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为.8.如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小。ABCDOO1ABOCO1D9. 如图4，在正三棱锥ABCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，E、F分别为AC、AD上的动点，求截面BEF的周长的最小值，以及此时E、F的位置。10.如图：在直角三角形ABC中，已知AB=a，ACB=30o，B=90o,D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将ABD沿BD折起，二面角A-BD-C的大小记为。求证：平面AEF平面BCD； 为何值时ABCD？ 在的条件下，求点C到平面ABD的距离。EEABA“FDCBFCD折叠与展开问题参考答案【认知训练】1. 答案：C点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。2. 答案:，把所给平面图复原成NACFEBDM3.C4. 取AN的中点S，则PN2+PT2=TS2+SN2=TN2PNPT，又PNPCPN平面CMP，选D5.解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C6.解：连A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值。通过计算可得A1C1C90又BC1C45，A1C1C135 由余弦定理可求得A1C7.试题背景：本题与以往把立体图简单地展开为平面图是不一样的，因为正方形的纸不能撕开来。此题情境新颖，具有较高的探索价值，类似于2002年文史类最后一道高考附加题。解析：将正方形纸如图划分，其中BC=2AB=2CD，用标III的部分作下底面，标II的部分作四个侧面，标I的部分正好盖住立方体的上底面。由题意知，标I的部分正好盖住立方体的上底面。由题意知，标II的正方形的边长为a，所以正方形纸的边长为，面积为。故选B。评析：新世纪的高考试题的新颖性越来越明显，能力要求也越来越高，并且也越来越广泛。要在“创新”的大环境下来面对高考，我们应把握好平时的一些新颖试题，充分挖掘其立意，举一反三，广泛联系，以适应新课程的理念及新时代的高考。【能力训练】例1.解法一：（）如图，过点E作EGAC，垂足为G，过点F作FHAC，垂足为H，则，GHMABCDEFODCMHGOFABE因为二面角DACB为直二面角， 又在中， （）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM二面角DACB为直二面角，平面DAC平面BAC，交线为AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂线定理，得EMOF就是二面角的平面角在RtEGM中，所以，二面角的大小为xyzABCDEFO解法二：（）建立如图所示的直角坐标系Oxyz， 则，（）设平面OEF的法向量为由得解得所以，又因为平面AOF的法向量为， 所以，二面角的大小为例2.正解：正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为如图1，将侧面BC1旋